96 b. |AP| + |PB| toplaminı en küçük yapan x değeri kaçtır? a. |AP| + |PB| en az kaç birimdir? b. Şekilde verilenlere göre P(X, 0) B(7,2) 21. A-1, 4) a. niz. 25. Aşac

YKS TYT
1

96 b. |AP| + |PB| toplaminı en küçük yapan x değeri kaçtır? a. |AP| + |PB| en az kaç birimdir? b. Şekilde verilenlere göre P(X, 0) B(7,2) 21. A-1, 4) a. niz. 25. Aşac

Resim
Resim1080×813 73 KB

2

:pushpin: SORU:
Şekilde verilenlere göre, |AP| + |PB| toplamını en küçük yapan x değeri kaçtır?
a) |AP| + |PB| en az kaç birimdir?
P noktasının koordinatı (x,0), B(7,2), A(-1,4) olarak verilmiştir.

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • İki nokta arasındaki uzaklık formülü:
    d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
  • Geleneksel geometri yöntemiyle, bir doğru üzerindeki bir noktanın iki noktaya olan uzaklık toplamını minimize etmek için yansıma yöntemi kullanılır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Noktaların ve P’nin tanımı

  • A(-1,4), B(7,2) ve P(x,0)
  • Bulmak istediğimiz: |AP| + |PB| değerini en küçük yapan x değeri ve bu minimum toplam.

Adım 2 — Yansıma yöntemi

  • Problemi daha kolay çözmek için A noktasını x eksenine göre yansıtıyoruz.
    A’nın yansıması A'(-1, -4) olacaktır.
  • Bu durumda, |AP| + |PB| mesafesi, |PA| + |PB| = |PA'B| doğrusuna karşılık gelir.

Adım 3 — Doğru üzerindeki P için çözüm

  • P noktası x-ekseni üzerinde ve y=0 olduğuna göre, P(x,0) .
  • |AP| + |PB| = |A'P| + |PB| olur, ancak |A'P| + |PB| toplamı, A’ ve B noktaları arasındaki doğrudan doğruya mesafe kadar minimum olabilir.
  • Minimum mesafe için P, A’B doğrusunun x-ekseni üzerinde düşüm noktası olur.

Adım 4 — A’ ve B noktalarını bağlayan doğru denklemi

  • A’(-1, -4), B(7, 2)
  • Eğimi:
    m = \frac{2 - (-4)}{7 - (-1)} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
  • Denklem:
    y - (-4) = \frac{3}{4} (x - (-1)) \Rightarrow y + 4 = \frac{3}{4} (x + 1)
    y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} - 4 = \frac{3}{4} x - \frac{13}{4}

Adım 5 — Doğru ile x ekseni kesişimi

  • x ekseni için y=0

    0 = \frac{3}{4} x - \frac{13}{4} \Rightarrow \frac{3}{4} x = \frac{13}{4} \Rightarrow x = \frac{13}{3}

  • Yani P noktası \left(\frac{13}{3},0\right) koordinatındadır.

Adım 6 — Minimum toplam mesafe

  • Minimum toplam mesafe, A’ ile B arasındaki uzaklıktır:
    d = \sqrt{(7 - (-1))^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10

Adım 7 — Sonuçların yazımı

  • a) Minimum toplam |AP| + |PB| = 10 birim.
  • b) Bu toplamı sağlayan x değeri \frac{13}{3} ya da yaklaşık 4.33’tür.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:

  • a) |AP| + |PB| en az 10 birimdir.
  • b) Bu toplamı sağlayan x değeri \frac{13}{3} (yaklaşık 4.33) olarak bulunur.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

SORU: Şekilde P(X,0), B(7,2), A(-1,4) veriliyor. |AP| + |PB| toplamını en küçük yapan x değeri kaçtır? a) |AP| + |PB| en az kaç birimdir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL: Yansıma yöntemi — Bir noktanın bir doğru üzerindeki bir noktaya olan toplam uzaklığını enazlamak için diğer noktayı doğrunun karşı tarafına yansıtıp iki nokta arasındaki doğrusal mesafeyi kullanırız. Bu durumda A noktasını x-eksenine göre yansıtarak A’ alınır; sonra A’ ile B arasındaki doğru x-eksenini kestiği noktada P olması toplamı en küçültür.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — A noktasının yansımasını bul
A(-1,4) noktasının x-eksenine göre yansıması A’ = (-1,-4).

Adım 2 — A’ ve B arasındaki doğrunun eğimini hesapla
Eğim m=\dfrac{y_B-y_{A'}}{x_B-x_{A'}}=\dfrac{2-(-4)}{7-(-1)}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}.

Adım 3 — Doğru denklemini yaz ve x-eksenini kestiği x değerini bul
Doğru denklemi: y-2=\dfrac{3}{4}(x-7).
x-ekseninde y=0 olduğundan:
0-2=\dfrac{3}{4}(x-7)
-2=\dfrac{3}{4}(x-7)
x-7=\dfrac{-2\times 4}{3}=\dfrac{-8}{3}
x=7-\dfrac{8}{3}=\dfrac{21-8}{3}=\dfrac{13}{3}.

Adım 4 — Minimum toplam uzaklığı A’B uzunluğu olarak hesapla
A'B=\sqrt{(x_B-x_{A'})^2+(y_B-y_{A'})^2}=\sqrt{(7-(-1))^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10.

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Yansıma
  • Tanım: Bir noktanın bir doğruya göre simetrik görüntüsü.
  • Bu problemde: A noktasını x-eksenine yansıtarak A’ elde ettik: A’(-1,-4).
  1. Üçgen eşitsizliği / düz çizgi en küçük yol
  • Tanım: İki nokta arasındaki en kısa yol doğrudur.
  • Bu problemde: AP + PB en küçük olduğunda P, A’ ile B arasındaki doğrunun x-eksenini kestiği noktadır.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Eğimi yanlış hesaplarken işaret hatası

  • Yanlış: y farkını ters almak.
  • Doğru: 2-(-4)=6.
  • Neden yanlış: Eksik parantez veya işaret unutulmasından kaynaklanır.
  • Düzeltme: İşlemler sırasını dikkatle yaz: y_B-y_{A'}.

:white_check_mark: CEVAP: x = \dfrac{13}{3}; |AP| + |PB| en az 10 birimdir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?