90 sayısının doğal sayı bölenlerinden kaç tanesi tektir

YKS TYT
1

90 sayısının doğal sayı bölenlerinden kaç tanesi tektir

2

90 sayısının doğal sayı bölenlerinden kaç tanesi tektir?

Answer:
Aşağıdaki adımlarla bulabiliriz:

  1. Asal çarpanlara ayırma

    90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1

  2. Toplam bölen sayısı formülü
    Bir sayının asal çarpanları p_1^{a}p_2^{b}p_3^{c} şeklindeyse, toplam bölen sayısı
    (a+1)(b+1)(c+1) ile bulunur.
    Burada a=1, b=2, c=1 olduğundan toplam bölen sayısı
    (1+1)\times(2+1)\times(1+1)=2\times3\times2=12.

  3. Tek bölenleri bulma
    Tek bölenlerde 2’nin üstü mutlaka 0’dır. Yani

    2^0 \times 3^k \times 5^m

    şeklindeki kombinasyonlar geçerlidir.

    • 3’ün üssü k=0,1,2 (3 seçenek)
    • 5’in üssü m=0,1 (2 seçenek)
      Dolayısıyla tek bölen sayısı
    (0+1)\times(2+1)\times(1+1) \;=\;1\times3\times2 \;=\;6.

  4. Tek bölenlerin listesi
    1, 3, 9, 5, 15, 45 → toplam 6 adet.

Cevap: 6 @Emin_Ylmaz

3

90 sayısının doğal sayı bölenlerinden kaç tanesi tektir?

Cevap:

Merhaba Emin, sorununuzun cevabını adım adım açıklayarak çözelim. Sorunuz, 90 sayısının doğal sayı bölenlerinden kaç tanesinin tek sayı olduğu üzerine. Bu tür bir matematik problemini çözmek için önce 90 sayısının tüm bölenlerini bulacağız, ardından bu bölenlerden hangilerinin tek sayı olduğunu belirleyeceğiz. Hadi başlayalım!

İçindekiler

  1. Doğal Sayı Bölenleri Nedir?
  2. 90 Sayısının Bölenlerini Bulma
  3. Tek Bölenleri Belirleme
  4. Sonuç ve Özet

1. Doğal Sayı Bölenleri Nedir?

Doğal sayı bölenleri, bir sayıyı tam olarak bölen doğal sayılardır (yani, 1 ve kendisinden başlayan pozitif tam sayılar). Örneğin, 6 sayısının doğal sayı bölenleri 1, 2, 3 ve 6’dır. Bir sayının bölenlerini bulmak için, o sayıyı hangi sayıların tam olarak bölebildiğini sistematik bir şekilde kontrol ederiz. Ayrıca, bir sayının asal çarpanlarını bulmak, tüm bölenlerini daha hızlı bir şekilde listelememize yardımcı olabilir.

Bu soruda, 90 sayısının tüm doğal sayı bölenlerini bulmamız ve ardından bu bölenlerden tek olanları saymamız gerekiyor. Tek sayılar, 2 ile bölünemeyen sayılardır (örneğin, 1, 3, 5, 7 gibi).

2. 90 Sayısının Bölenlerini Bulma

90 sayısının bölenlerini bulmak için önce sayıyı asal çarpanlarına ayırabiliriz. Bu yöntem, tüm bölenleri sistematik olarak bulmamızı sağlar.

Adım 1: 90 Sayısını Asal Çarpanlarına Ayırma

  • 90, 2 ile bölünebilir: 90 ÷ 2 = 45
  • 45, 3 ile bölünebilir: 45 ÷ 3 = 15
  • 15, yine 3 ile bölünebilir: 15 ÷ 3 = 5
  • 5, bir asal sayıdır: 5 ÷ 5 = 1

Böylece, 90 sayısının asal çarpanları:
90 = 2 × 3² × 5

Adım 2: Bölenleri Listelemek

Bir sayının tüm bölenlerini bulmak için, asal çarpanlarının tüm kombinasyonlarını kullanırız. 90’ın asal çarpanları 2¹, 3² ve 5¹ şeklinde olduğuna göre, bölenleri şu şekilde hesaplayabiliriz:

  • 2’nin üsleri: 2⁰ (1) ve 2¹ (2)
  • 3’ün üsleri: 3⁰ (1), 3¹ (3), 3² (9)
  • 5’in üsleri: 5⁰ (1) ve 5¹ (5)

Bu üslerin tüm kombinasyonlarını çarparak 90’ın bölenlerini elde ederiz:

  • 2⁰ × 3⁰ × 5⁰ = 1
  • 2⁰ × 3⁰ × 5¹ = 5
  • 2⁰ × 3¹ × 5⁰ = 3
  • 2⁰ × 3¹ × 5¹ = 15
  • 2⁰ × 3² × 5⁰ = 9
  • 2⁰ × 3² × 5¹ = 45
  • 2¹ × 3⁰ × 5⁰ = 2
  • 2¹ × 3⁰ × 5¹ = 10
  • 2¹ × 3¹ × 5⁰ = 6
  • 2¹ × 3¹ × 5¹ = 30
  • 2¹ × 3² × 5⁰ = 18
  • 2¹ × 3² × 5¹ = 90

Böylece, 90 sayısının tüm doğal sayı bölenleri şunlardır:
1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90

Toplamda 12 tane bölen vardır.

3. Tek Bölenleri Belirleme

Şimdi, bu bölenlerden hangilerinin tek sayı olduğunu belirleyeceğiz. Tek sayılar, 2 ile bölünemeyen sayılardır. Listemizi inceleyelim:

  • 1: Tek sayı
  • 2: Çift sayı
  • 3: Tek sayı
  • 5: Tek sayı
  • 6: Çift sayı
  • 9: Tek sayı
  • 10: Çift sayı
  • 15: Tek sayı
  • 18: Çift sayı
  • 30: Çift sayı
  • 45: Tek sayı
  • 90: Çift sayı

Tek bölenler: 1, 3, 5, 9, 15, 45
Toplamda 6 tane tek bölen vardır.

Alternatif Yöntem: Tek Bölenleri Doğrudan Bulma

Bir sayının tek bölenlerini bulmak için, o sayının 2 dışındaki asal çarpanlarının kombinasyonlarını kullanabiliriz. Çünkü bir bölenin tek olabilmesi için içinde 2 faktörü olmamalıdır. 90’ın asal çarpanları 2, 3 ve 5 olduğuna göre, sadece 3 ve 5’in kombinasyonlarını alarak tek bölenleri bulabiliriz:

  • 3⁰ × 5⁰ = 1
  • 3⁰ × 5¹ = 5
  • 3¹ × 5⁰ = 3
  • 3¹ × 5¹ = 15
  • 3² × 5⁰ = 9
  • 3² × 5¹ = 45

Bu yöntemle de aynı sonucu elde ederiz: 6 tane tek bölen.

4. Sonuç ve Özet

90 sayısının doğal sayı bölenlerini bulduk ve bunların arasından tek olanları belirledik. İşte özet:

  • 90’ın toplam 12 tane doğal sayı böleni vardır: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
  • Bunlardan tek olanlar şunlardır: 1, 3, 5, 9, 15, 45
  • Dolayısıyla, 90 sayısının doğal sayı bölenlerinden 6 tanesi tektir.

Özet Tablo

Adım Açıklama Sonuç
1. Asal Çarpanlara Ayırma 90 sayısını asal çarpanlarına böldük 90 = 2 × 3² × 5
2. Tüm Bölenleri Bulma Asal çarpanların kombinasyonlarını kullandık 12 bölen: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
3. Tek Bölenleri Sayma Bölenlerden 2 ile bölünemeyenleri seçtik 6 tane tek bölen: 1, 3, 5, 9, 15, 45

Bu adımları takip ederek sorunun cevabını net bir şekilde bulmuş olduk. Eğer başka bir sorunuz varsa, sormaktan çekinmeyin!

@Emin_Ylmaz

4

90 sayısının doğal sayı bölenlerinden kaç tanesi tektir?

Cevap:

İçindekiler

  1. Soruya Genel Bakış
  2. Temel Kavramlar
  3. 90 Sayısının Asal Çarpanlarını Bulma
  4. Tüm Bölenlerin Sayısını Hesaplama
  5. Tek Bölenlerin Sayısını Hesaplama
  6. Adım Adım Çözüm Tablosu
  7. Sonuç ve Özet

1. Soruya Genel Bakış

Bu soru, “90 sayısının doğal sayı bölenlerinden kaç tanesi tektir?” şeklinde sorulmuştur. Burada odaklandığımız nokta, 90’ı bölen tüm doğal sayılar arasından sadece tek (2 ile bölünemez) olanları bulmaktır. Bu tür soruları çözerken ilk adım tipik olarak sayının asal çarpanlarını belirlemek, ardından belli formüllerle bölenlerin sayısını hesaplamaktır.

2. Temel Kavramlar

  • Doğal Sayı Bölen (Divisor): Bir sayının tam (kalan 0) olarak bölünebildiği pozitf tam sayılara o sayının bölenleri denir.
  • Asal Faktöriyelleştirme (Prime Factorization): Bir sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazma işlemidir. Örneğin, 12 = 2² × 3^1.
  • Bölen Sayısı Formülü:
    Bir sayının asal çarpanları
    $
    n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot … \cdot p_k^{a_k}
    $
    şeklinde yazıldığında, tüm bölenlerinin adedi
    $
    (a_1 + 1)\cdot (a_2 + 1)\cdot … \cdot (a_k + 1)
    $
    formülüyle hesaplanır.
  • Tek Bölen: Herhangi bir bölenin tek olması, içerisinde 2 asalının üssünün 0 (yani hiç 2 çarpanı olmaması) anlamına gelir.

3. 90 Sayısının Asal Çarpanlarını Bulma

Öncelikle 90’ın asal çarpanlarını belirleyelim. 90 sayısını adım adım çarpanlarına ayırabiliriz:

  1. 90’ı 2’ye bölelim:
    90 ÷ 2 = 45
    Burada 2 bir asal çarpan oldu ve geriye 45 kaldı.

  2. 45’i 3’e bölelim:
    45 ÷ 3 = 15
    3 de asal çarpanlardan biridir.

  3. Geriye kalan 15’i tekrar 3’e bölelim:
    15 ÷ 3 = 5
    Bu da 3’ün ikinci kez çarpan olduğunu gösterir.

  4. Son olarak 5, başlı başına asal bir sayıdır: 5.

Dolayısıyla 90’ı asal çarpanlarına ayırdığımızda:
$
90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1
$

4. Tüm Bölenlerin Sayısını Hesaplama

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırdığımızda, tüm bölen sayısını bulmak için üstlerin (üs + 1) çarpımı formülünü kullanabiliriz. 90’ın asal çarpanları:

  • 2’nin üssü 1 (yani a₁ = 1)
  • 3’ün üssü 2 (yani a₂ = 2)
  • 5’in üssü 1 (yani a₃ = 1)

Tüm bölen sayısı:
$
(1 + 1) \times (2 + 1) \times (1 + 1) = 2 \times 3 \times 2 = 12
$

Yani 90 sayısının 12 adet pozitif böleni vardır.

5. Tek Bölenlerin Sayısını Hesaplama

Tek bölen, 2 ile bölünemeyen (içinde 2 faktörü barındırmayan) tüm bölenlerdir. 90’ın asal çarpanlarında 2 bulunuyor; bir bölenin tek olabilmesi için 2’nin üssü 0 (yani 2^0) olmalıdır.

  • 2’nin üssü: 0 —> seçilebilen tek değer (çünkü eğer 2^1 devreye girerse bölenimiz çift olur)
  • 3’ün üssü: 0, 1 veya 2 olabilir (toplam 3 seçenek)
  • 5’in üssü: 0 veya 1 olabilir (toplam 2 seçenek)

Bu durumda olası tek bölen sayısı:
$
1 \ (\text{2’nin üssü için}) \times 3 \times 2 = 3 \times 2 = 6
$

Bu 6 tane bölenin her biri 2^0 çarpımı içerir, yani 2 bulunmaz. Dolayısıyla cevap 6’dır.

6. Adım Adım Çözüm Tablosu

Adım İşlem Sonuç
1. Asal Çarpan Bulma 90 = 2^1 × 3^2 × 5^1 Asal çarpanlar elde edildi.
2. Tüm Bölen Sayısını Bulma (1+1) × (2+1) × (1+1) = 12 90’ın tüm bölen sayısı 12.
3. Tek Bölenlerin Kriterini Belirleme 2’nin üssü = 0, 3’ün üssü ∈ {0,1,2}, 5’in üssü ∈ {0,1} Tek bölenlerde 2 asal faktörü olmamalı.
4. Tek Bölen Sayısı Hesaplama 1 × 3 × 2 = 6 90’ın tek bölen sayısı 6.

7. Sonuç ve Özet

  • Prime faktörleri: 90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1.
  • Tüm bölen sayısı: 12.
  • Tek bölen sayısı (2 faktörü içermeyen): 6.

Bu adımlar sayesinde 90 sayısının doğal sayı bölenlerinden 6 tanesinin tek olduğu sonucuna ulaşıyoruz.

Özetle, 2 faktörü olmadan kurulabilecek bütün bölenler (3’ün 0,1,2. kuvveti ve 5’in 0 veya 1. kuvveti) 6 farklı kombinasyon oluşturur ve sorunun cevabı 6 olur.

@Emin_Ylmaz