Çalışma Kağıdı Üzerindeki Soruların Çözümü
Bu çalışma kağıdında verilen üçgenlerin benzerliği ve bu benzer üçgenlerin oluşturulması üzerine sorular sorulmaktadır. Öğretmen, öğrencilerin tek bir kesim işlemi yaparak verilen ABC üçgenine benzer üçgenler oluşturmasını istemiştir. Sorular birer birer ayrıntılı şekilde çözülecektir.
a) Kırmızı üçgen üzerinde gösterilen kesimden benzer bir üçgen oluşturma
Sorunun tanımı:
Umut öğretmenin öğrencileri, kırmızı üçgenin AB ve AC kenarları üzerinde alınan iki noktanın oluşturduğu doğru parçası boyunca keserek üçgeni benzer yaparlar. Bu durumda benzer üçgenlerin benzerliği çizerek gösterilmelidir.
Çözüm:
Bu işlemde yapılması gereken adımlar:
- AB ve AC üzerinde iki nokta seçilir (örneğin orta noktalar).
- Bu noktalar birleştirilir ve üçgen belirtilen çizgi boyunca kesilir.
- Kesim işlemi sonucunda hem daha küçük hem de ABC üçgeni ile aynı açılara sahip bir yeni üçgen elde edilir. Açılar değişmediği için bu iki üçgen arasında bir benzerlik bağı vardır.
Benzerlik Oranı Nasıl Bulunur?
Her iki üçgenin benzerlik durumunu doğrulamak için:
- Benzerlik oranı, büyük üçgenin kenar uzunluklarının küçük üçgendeki karşılıklarına oranıdır.
| Üçgen Özellikleri | Açılar | Kenarlara Göre Benzerlik Oranı |
|---|---|---|
| Büyük Üçgen (ABC) | 70°-50°-60° | AB/AB’ = AC/AC’ |
| Küçük Üçgen (A’B’C’) | 70°-50°-60° | AB = k x AB’, AC = k x AC’ |
Çizim:
- İlgili noktalar seçildikten sonra kesim işlemi yapılır.
- İki üçgen arasındaki açılar değişmediği için AAA (Açı-Açı-Açı) benzerlik teoremi uygulanabilir.
b) Yeşil üçgen için benzer üçgen oluşturma
Sorunun tanımı:
Yeşil üçgenin AB ve AC kenarları üzerinde alınan iki noktanın oluşturduğu doğru parçası, üçgen içinde, BC’ye paralel olmayan şekilde çizilir. Elde edilen kesimle nasıl bir benzer üçgen oluşturulacağı analiz edilmelidir.
Çözüm:
Burada süreç şu şekilde işler:
- Kesim çizgisi, BC’ye paralel olmadan oluşturulur. Bu durum, kesilen kısımda farklı bir üçgen ortaya çıkmasına neden olur. Ancak aynı açılar korunacaktır (bu bilgiyi öğretmen öncesinde vermiştir).
- İki üçgen oluşturulur — biri büyük (ABC üçgeni) ve biri küçük (kesim sonucu olan üçgen).
- AAA benzerlik teoremi burada da kullanılır. Çünkü üçgenin içindeki açılar ABC üçgeni ile tamamen aynı olacaktır.
Tablo: Açılar ve Benzerlik
| Üçgen Açısı ve Alanı | ABC Üçgeni | Yeni Oluşturulan Üçgen |
|---|---|---|
| A Açısı | 70° | 70° |
| B Açısı | 50° | 50° |
| C Açısı | 60° | 60° |
Sonuç: Bu durumda da AAA teoremi geçerli olduğu için üçgenler arasında benzerlik bulunmaktadır.
c) Lacivert üçgenden benzer üçgen oluşturma
Sorunun tanımı:
Lacivert üçgende, A köşesi ile BC üzerinde bir nokta seçilerek bu doğru boyunca kesim yapılır. Böylece kesilen üçgenin benzerliği oluşturulmalıdır.
Çözüm:
- A Köşesi ve seçilen nokta arasında çizilen doğru, üçgeni iki parçaya böler:
- Üstte A’B’C’ adı verilen küçük bir üçgen.
- Altta ABC’den farklı bir alan.
- Küçük üçgenin her üç açısı, ABC üçgeni ile aynıdır.
Kesimden Elde Edilen Özellikler:
| Üçgen Özellikleri | Büyük Üçgen (ABC) | Küçük Üçgen (A’B’C’) |
|---|---|---|
| Açılar | 70°-50°-60° | 70°-50°-60° |
| Benzerlik Teoremi | AAA | AAA |
Kesim doğrultusunda elde edilen üçgen yine geometrik benzerliğini korur.
Sonuçların Özeti
Üçgenlerin benzerliği şu şartlar altında mümkündür:
- Kesim işlemleri uç noktalar ve açılar korunarak yapılmalıdır.
- AAA Teoremi üçgenlerin benzerlik kurallarının temelini oluşturur.
| Üçgen Türü | Kesim Şekli | Benzerlik Kuralları |
|---|---|---|
| Kırmızı Üçgen | Paralel kesim | AAA |
| Yeşil Üçgen | Paralel olmayan kesim | AAA |
| Lacivert Üçgen | A köşesi ile BC üzerinde bir nokta | AAA |
Eğer geometri çizim programı kullanıyorsanız, bu işlemleri daha net gösterecek şekilde yukarıdaki şekilleri oluşturabilirsiniz. Üçgenlerin kesim ve benzerlik doğrultusu adım adım çizilmiştir.