Soru 1
Örnek cevap / çözüm yolu
Önermenin cebirsel sembollerle ifadesi: a, b \in \mathbb{R} olmak üzere a \cdot b = 0 \implies (a = 0 \lor b = 0) önermesinin doğruluğunu ispatlayalım.
Doğrudan İspat Adımları:
- Hipotez olarak a \cdot b = 0 kabul edilir.
- Durum 1: Eğer a = 0 ise, hükümdeki a = 0 \lor b = 0 bileşik önermesi veya (\lor) bağlacı gereği doğrudan doğru (1) olur.
- Durum 2: Eğer a \neq 0 ise, gerçek sayılarda sıfırdan farklı her elemanın çarpmaya göre tersi mevcuttur (a^{-1} = \frac{1}{a} \in \mathbb{R}).
- a \cdot b = 0 eşitliğinin her iki tarafı a^{-1} ile çarpılır:a^{-1} \cdot (a \cdot b) = a^{-1} \cdot 0
- Çarpmada birleşme ve yutan eleman özellikleri uygulanır:(a^{-1} \cdot a) \cdot b = 0
- Ters eleman özelliği (a^{-1} \cdot a = 1) yerine yazılır:1 \cdot b = 0 \implies b = 0
- Sonuç olarak a \neq 0 iken b = 0 elde edildiğinden, a = 0 veya b = 0 hükmünün her durumda doğru olduğu ispatlanmış olur.
Soru 2
Örnek cevap / çözüm yolu
a) İspat Adımlarının Sözel İfadesi:
- Adım 1: Çarpımları sıfır olan iki gerçek sayı ele alınır.
- Adım 2: Birinci sayının sıfıra eşit olup olmadığı denetlenir. Sıfır ise ispata gerek kalmadan en az birinin sıfır olduğu sonucuna varılır.
- Adım 3: Birinci sayı sıfır değilse, bu sayının çarpmaya göre tersinin varlığı kuralı kullanılır.
- Adım 4: Eşitliğin iki tarafı birinci sayının tersiyle çarpılarak ikinci sayının sıfır olduğu gösterilir.
b) Mantık Bağlaçları ve Niceleyicilere Yönelik Çıkarımlar:
- Evrensel Niceleyici (\forall): İfade tüm gerçek sayılar kümesini kapsadığı için evrensel niceleyici kullanılmıştır: \forall a, b \in \mathbb{R}.
- Koşullu Bağlaç (\implies): İspat süreci “Eğer çarpım 0 ise en az bir çarpan 0’dır” biçimindeki p \implies q koşullu önermesine dayanır.
- Veya Bağlacı (\lor): “En az biri sıfırdır” ifadesi kapsayıcı veya bağlacını temsil eder (a = 0 \lor b = 0).
- Mantıksal Denkliğin Kullanımı: p \implies (q \lor r) yapısındaki bir önermeyi ispatlamak için mantıksal olarak denk olan (p \land \neg q) \implies r denkliği kullanılmıştır (a \cdot b = 0 ve a \neq 0 iken b = 0 olduğu kanıtlanmıştır).
Soru 3
Örnek cevap / çözüm yolu
1. Algoritmik Doğal Dil:
- Adım 1: Başla.
- Adım 2: a ve b gerçek sayılarını al.
- Adım 3: a \cdot b çarpımını kontrol et. Çarpım 0 değilse “Hipotez sağlanmıyor” yaz ve Adım 7’ye git.
- Adım 4: Eğer a = 0 ise “Önerme Doğrudur (a = 0)” yaz ve Adım 7’ye git.
- Adım 5: Eğer a \neq 0 ise b = (a \cdot b) \cdot a^{-1} işlemini yap ve b = 0 bul.
- Adım 6: “Önerme Doğrudur (b = 0)” yaz.
- Adım 7: Bitir.
2. Sözde Kod (Pseudocode):
- BAŞLA
- GİR a, b
- EĞER (a \cdot b == 0) İSE
- EĞER (a == 0) İSE
- YAZ “Önerme Doğru: a = 0”
- DEĞİLSE
- b = (a \cdot b) / a
- YAZ “Önerme Doğru: b = 0”
- BİTİR_EĞER
- EĞER (a == 0) İSE
- DEĞİLSE
- YAZ “Hipotez sağlanmıyor.”
- BİTİR_EĞER
- BİTİR
3. Akış Şeması Adımları:
- [Başla] (Oval) \rightarrow
- [Girdi: a, b] (Paralelkenar) \rightarrow
- < a \cdot b = 0 mı? > (Eşkenar Dörtgen - Karar)
- Evet: \rightarrow < a = 0 mı? > (Karar)
- Evet: \rightarrow [Yaz: “Önerme Doğrudur (a = 0)”] \rightarrow [Bitir]
- Hayır: \rightarrow [Hesapla: b = (a \cdot b) / a = 0] \rightarrow [Yaz: “Önerme Doğrudur (b = 0)”] $
ightarrow$ [Bitir]
- Hayır: \rightarrow [Yaz: “Hipotez Sağlanmıyor”] $
ightarrow$ [Bitir]
- Evet: \rightarrow < a = 0 mı? > (Karar)
Kitapta kolayca gezin
← Önceki sayfa: 139 · 
Matematik Ders Kitabı 2. Kitap cevapları · Sonraki sayfa: 141 →