Beş basamaklı 5m3mn doğal sayısı ile ilgili,
- 9 ile bölümünden kalan 6’dır
- 5 ile tam bölünmektedir
bilgileri veriliyor.
Buna göre, m’nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
Beş Basamaklı 5m3mn Sayısında m’nin Alabileceği Değerler Toplamı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- 5 ile Bölünebilme Kuralı: Bir doğal sayının 5 ile tam bölünebilmesi için birler basamağındaki rakamın (n) 0 veya 5 olması gerekir.
- 9 ile Bölünebilme ve Kalan Bulma Kuralı: Bir doğal sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.\text{Rakamlar Toplamı} \equiv \text{Kalan} \pmod 9
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Birler Basamağını (n) Belirleme
Sayının 5 ile tam bölünebilmesi için son basamağı incelenir:
n = 0 \quad \text{veya} \quad n = 5
Adım 2 — Sayının Rakamları Toplamını Yazma
5m3mn sayısının rakamları toplamı:
\text{Toplam} = 5 + m + 3 + m + n = 8 + 2m + n
Adım 3 — n = 0 Durumunu İnceleme
n = 0 olduğunda rakamlar toplamı:
\text{Toplam} = 8 + 2m + 0 = 8 + 2m
Bu toplamın 9 ile bölümünden kalanın 6 olması gerekir (k bir tam sayı olmak üzere):
8 + 2m = 9k + 6
2m = 9k - 2
- k = 1 için: 2m = 9(1) - 2 = 7 (m tam sayı olmaz)
- k = 2 için: 2m = 9(2) - 2 = 16 \implies m = 8
m bir rakam olduğundan bu durumdan m = 8 değeri elde edilir.
Adım 4 — n = 5 Durumunu İnceleme
n = 5 olduğunda rakamlar toplamı:
\text{Toplam} = 8 + 2m + 5 = 13 + 2m
Bu toplamın 9 ile bölümünden kalanın 6 olması gerekir:
13 + 2m = 9k + 6
2m = 9k - 7
- k = 1 için: 2m = 9(1) - 7 = 2 \implies m = 1
- k = 2 için: 2m = 9(2) - 7 = 11 (m tam sayı olmaz)
- k = 3 için: 2m = 9(3) - 7 = 20 \implies m = 10 (m bir rakam olmalıdır, 10 olamaz)
Buradan m = 1 değeri elde edilir.
Adım 5 — m’nin Alabileceği Değerlerin Toplamını Hesaplama
Bulunan m değerleri 1 ve 8’dir:
\text{Toplam} = 8 + 1 = 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (9)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Bölünebilme Kurallarında Öncelik Sırası
- Tanım: Birden fazla bölünebilme kuralı verildiğinde son basamağı (birler basamağını) ilgilendiren kurallar (2, 5, 10) öncelikle uygulanır.
- Bu problemde: İlk olarak 5 ile bölünebilme kuralı kullanılarak n değişkeni (0 ve 5) bulunmuş, ardından tüm rakamları ilgilendiren 9 ile bölünebilme kuralına geçilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
m Harfinin İki Kez Geçtiğini Unutmak
- Yanlış: Rakamlar toplamını 5 + 3 + m + n = 8 + m + n şeklinde tek m ile yazmak.
- Doğru: Sayı 5m3mn olduğundan iki adet m rakamı vardır ve toplam 8 + 2m + n olmalıdır.
- Neden yanlış: Eksik değişken almak m için yanlış değerler bulunmasına yol açar.
Benzer bir bölünebilme kuralı sorusu oluşturup pratik yapmamızı ister misin?