9 Bir uzay gözlemevinde, ultra yüksek çözünür-
lüklü yeni bir teleskop kamerası tasarlanmiştır.
Bu kameranın çektiği her bir fotoğraf karesinde-
karesindeki toplam piksel sayısI kaç basa-
1252 16 18
ile gösteilmektedir.
A) 10
Buna göre teleskobun çektiği bir fotoğraf
maklıdır?
12-?00
B) 11
C) 12 D) 13
Üslü İfadelerde Basamak Sayısı Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Üssün üssü kuralı: (a^x)^y = a^{x \cdot y}
- Tabanları aynı üslü sayıların çarpımı: a^x \cdot a^y = a^{x+y}
- Ortak üs kuralı: a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x
- Basamak sayısı: A \cdot 10^n sayısının basamak sayısı, A sayısının basamak sayısı ile n değerinin toplamına eşittir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıları Asal Çarpanlarına Ayırma
Verilen ifadelerdeki tabanları asal çarpanlarının üssü şeklinde yazalım:
125 = 5^3 \implies 125^2 = (5^3)^2 = 5^6
16 = 2^4 \implies 16^3 = (2^4)^3 = 2^{12}
18 = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9
Adım 2 — İfadeleri Bir Araya Getirme ve Düzenleme
Tüm çarpanları tek bir çarpım durumunda yazıp 2 tabanındaki üsleri toplayalım:
\text{Piksel Sayısı} = 5^6 \cdot 2^{12} \cdot (2 \cdot 9)
\text{Piksel Sayısı} = 5^6 \cdot 2^{13} \cdot 9
Adım 3 — 10’un Kuvvetini Oluşturma
Bir sayının basamak sayısını kolayca bulmak için 2 ve 5 çarpanlarını eşleştirerek 10 tabanını elde ederiz. Üssü küçük olan 5^6 olduğu için 2^{13} ifadesini 2^7 \cdot 2^6 şeklinde ayıralım:
\text{Piksel Sayısı} = 9 \cdot 2^7 \cdot (2^6 \cdot 5^6)
\text{Piksel Sayısı} = 9 \cdot 2^7 \cdot 10^6
Adım 4 — Öndeki Katsayıyı Hesaplama ve Basamak Sayısını Bulma
Önce 9 \cdot 2^7 işlemini tamamlayalım:
2^7 = 128
9 \cdot 128 = 1152
İfademizin son hali:
1152 \cdot 10^6
- 1152 sayısı 4 basamaklıdır.
- 10^6 çarpanı ise bu sayının sağına 6 tane sıfır geleceğini gösterir.
\text{Toplam Basamak Sayısı} = 4 + 6 = 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- 10’un Kuvvetleri: Çok büyük sayıların basamak sayısını belirlerken tabanında 2 ve 5 çarpanları aranır. Kaç adet (2 \cdot 5) ikilisi varsa sayının sonunda o kadar 0 bulunur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Sadece 10’un üssünü (6) basamak sayısı olarak kabul etmek veya 1152’yi 1 basamaklı sayıp 1 + 6 = 7 demek.- Doğru Yaklaşım: A \cdot 10^n biçimindeki bir sayıda, A’nın kaç basamaktan oluştuğunu tek tek sayıp n değeriyle toplamak.
Bu tarz üslü ifadelerde basamak ve sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulma ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?