9 ABC üçqen; DE|AC, EEBc B, F, D ve A, F, E noktal ari doğrusal, AD|=Dc BE|= 6 birim, EC= 4 birim ve FD=3 birimdir. x=? 4. Tema/Eşlik ve Benzerlik Benzerlik konusunu işleyen Sema Öğretmen, ko- nuyla ilgili soruyu tahtaya yazmiştır. Öğrencilerin.. soruyu çözmekte zorlandığını gören Sema Öğret- men, D noktasından BC kenarıina paralel bir doğru çizmelerini söyleyerek öğrencilere yardimcr ofur. Bunun üzerine öğrencilerden bazıları xi bulur. Buna göre x kaç birimdir?
SORU: Üçgende verilen DE ⊥ AC, nokta E BC üzerinde, B, F, D ve A, F, E doğrusal; AD = DC, BE = 6, EC = 4, FD = 3 birim. D noktasından BC kenarına paralel doğru çizilmiş. Buna göre x nedir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Üçgenin benzerlik özellikleri
Paralel doğrular ve orantılar
Orta nokta ve eşitlik özellikleri
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verileri Yerleştir ve Şekli İncele
Üçgen ABC, AD = DC → D noktası AC kenarının orta noktasıdır.
BE = 6, EC = 4 → BC = 10 birim.
F, D, A, F, E doğrusal (F ve E, verilen doğrusal noktalar).
D noktasından BC’ye paralel doğru çizilmiş.
Adım 2 — Eşitlikleri ve Paralellikten Oranlar Kur
D noktasından BC’ye çizilen paralel doğru, üçgen içinde orantı oluşturur.
Paralel çizgi nedeniyle, küçük üçgenler benzer olur ve kenar uzunlukları orantılıdır.
Adım 3 — Benzer Üçgenleri Belirle
Doğru FD üçgen içinde bir bölme yapar.
FD = 3 olduğuna göre, bu kısımdaki orantıyı kullanacağız.
Adım 4 — Oranları Kur ve x’i Hesapla
BC = BE + EC = 6 + 4 = 10 birim.
FD = 3 birim (verilen).
D noktasından BC’ye paralel çizilen çizgi F’nin bulunduğu doğru olduğu için, benzer üçgen oluşturur.
Bu benzerlik nedeniyle, BF / FE = BD / DC gibi oranlar kurulabilir.
Adım 5 — Oranı Matematiksel Olarak Yaz ve Çöz
Üçgenlerde paralel doğru sayesinde, BF / FE = BD / DC.
BD = AD, AD = DC (verilen) → BD = DC.
BD = DC = x (x bilinmeyen).
BF, FD ve ilgili uzunluklar içinde verilenler kullanılarak x bulunabilir.
Detaylı hesap için:
BF + FE = BE = 6 birim.
FD = 3 birim, FD BC’ye paralel, bu nedenle
\frac{BF}{FE} = \frac{BD}{DC} = 1
çünkü BD = DC.
BF = FE = 3 birim.
x = AD, verilene göre BE = 6, EC = 4, FD = 3 birim.
Burada verilen bilgilerle ve benzerlik özellikleriyle
x = 3
çıkmaktadır.
CEVAP: x = 3 birim
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
SORU: ABC üçgeninde; D ∈ AC ve AD = DC, E ∈ BC ve BE = 6, EC = 4 birimdir. Doğrular BD ve AE birbirini F noktasında kesiyor ve FD = 3 birimdir. Buna göre BF = x kaç birimdir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bölme (parametrik) formülü: bir doğru üzerindeki bir noktanın koordinatları parametre ile yazılır; eğer F, B ve D arasındaysa F = t·D + (1−t)·B ve BF = t·BD, FD = (1−t)·BD.
Orta nokta: D, AC’nin orta noktası ise D = (A + C)/2.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Koordinat seçimi ve D, E koordinatları
B(0,0), C(10,0) alalım (çünkü BE = 6, EC = 4 ⇒ BC = 10 ve E(6,0)).
A(0,2h) olacak şekilde genelde bir yükseklik h seçelim.
A(0,2h) ve C(10,0) için D orta nokta olduğundan D = ((0+10)/2, (2h+0)/2) = (5, h).
Adım 2 — BD ve AE doğrularının parametrik ifadeleri
BD üzerindeki bir nokta için F = (5t, h t) olacak; burada t = BF/BD.
AE üzerindeki bir nokta için parametre s ile F = (6(1−s), 2h s); burada s = AF/AE.
Y dik koordinatlarından eşitleme: h t = 2h s ⇒ t = 2s.
Adım 3 — x için gerekli oranın bulunması
X ekseninden eşitleme: 5t = 6(1−s).
s yerine t/2 koyarak: 5t = 6(1 − t/2).
5t = 6 − 3t
5t + 3t = 6
8t = 6
t = 6/8 = 3/4.
t = BF/BD olduğuna göre FD = (1 − t)·BD = (1 − 3/4)·BD = (1/4)·BD.
Verilen FD = 3 olduğuna göre (1/4)·BD = 3 ⇒ BD = 3 × 4 = 12.
SORU: Üçgende verilen DE ⊥ AC, nokta E BC üzerinde, B, F, D ve A, F, E doğrusal; AD = DC, BE = 6, EC = 4, FD = 3 birim. D noktasından BC kenarına paralel doğru çizilmiş. Buna göre x nedir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
ÇÖZÜM ADIMLARI:
CEVAP: x = 3 birim
SIK YAPILAN HATALAR:
Oranları karıştırma