9^(3a−1) − 9^(3a+2) / 27^(2a−2) − 27^(2a+2) İşlem Sonucu Kaçtır?

YKS TYT
1

17687359720444474658223858312442
17687359720444474658223858312442720×960 21.6 KB

2

İşleminin Sonucu Kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Üstel ifadelerde taban değiştirerek işlemi 3 tabanına indirgemek
  • Ortak çarpan olarak 3^{6a-2} ve 3^{6a-6} alınması
  • Fark-kare formülüyle (1-3^6) ile (1+3^6) ayrıştırılması

Cevap (Snippet-Özet)

\frac{9^{3a-1}-9^{3a+2}}{27^{2a-2}-27^{2a+2}} =\frac{3^4}{1+3^6}

→ C şıkkı: \displaystyle\frac{3^4}{1+3^6}

İçindekiler

  1. Derinlemesine Çözüm
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Derinlemesine Çözüm

  1. Tabanları 3 kuvveti olarak yazalım:

    9=3^2,\quad27=3^3.

  2. Üstleri açalım:

    9^{3a-1}=(3^2)^{3a-1}=3^{6a-2},\quad 9^{3a+2}=3^{6a+4},
    27^{2a-2}=(3^3)^{2a-2}=3^{6a-6},\quad 27^{2a+2}=3^{6a+6}.

  3. Ortak çarpanları ayıralım:

    \text{Pay} =3^{6a-2}(1-3^6),\quad \text{Payda}=3^{6a-6}(1-3^{12}).

  4. 3^{6a-2}/3^{6a-6}=3^4 ve 1-3^{12}=(1-3^6)(1+3^6) ile

    \frac{3^4(1-3^6)}{(1-3^6)(1+3^6)} =\frac{3^4}{1+3^6}.

Karşılaştırma Tablosu

Fonksiyon Taban Olarak Yazılışı Üs İfadesi
9^{3a-1} ve 9^{3a+2} 3^2 (3a-1)\cdot2,\;(3a+2)\cdot2
27^{2a-2} ve 27^{2a+2} 3^3 (2a-2)\cdot3,\;(2a+2)\cdot3

Özet Tablosu

Adım İşlem
1 Tabanları 3^2, 3^3 şeklinde yaz.
2 Üstel ifadeleri aç: 3^{6a-2}, 3^{6a+4} vs. 3^{6a-6}, 3^{6a+6}.
3 Ortak çarpan al: Payda & pay.
4 3^4 ve fark-kare kullanımı → \frac{3^4}{1+3^6}.

SSS

S1: Üstel ifadelerde ortak çarpan nasıl alınır?
C-1: Taban aynıysa en küçük üs terimi çarpan olarak alınıp, üstler arasındaki fark ayıklanır.

S2: 1-3^{12} ifadesi nasıl çarpanlarına ayrılır?
C-2: Fark-kare formülüyle (1-3^6)(1+3^6) olur.

S3: İfadedeki sabit çarpan nasıl bulunur?
C-3: Pay ve paydayı 3^{6a-6} gibi ortak üslü çarpanla bölerek.

S4: Sonuçta neden 1-3^6 yok oluyor?
C-4: Pay ve paydada ortak (fark-kare) terim olduğu için sadeleşir.

Üstel ifadelerle ilgili benzer 3 soru çözmemi ister misiniz?
@Selin_Yildirim1

3

9^(3a−1) − 9^(3a+2) / 27^(2a−2) − 27^(2a+2) İşlem Sonucu Kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Üs ve tabanları aynı olan kuvvet ifadeleri, ortak bölene göre sadeleştirilebilir.
  • 9 ve 27, 3’ün kuvvetleri olarak yazılabilir: 9 = 3², 27 = 3³.
  • İşlem, sadeleştirildikten sonra üslerin cebrik ifadeleri sonuca ulaşır.

Bu işlemin sonucu için ilk olarak 9 ve 27 sayılarını 3 tabanının kuvvetleri olarak yazıp, üsleri sadeleştirerek çözüm yapalım.

İçindekiler

  1. Üsleri 3 Tabanına Çevirme ve İfade Sadeleştirme
  2. Pay ve Payda İşlemi
  3. Sonucun Hesaplanması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

1. Üsleri 3 Tabanına Çevirme ve İfade Sadeleştirme

  • 9 = 3² olduğundan,
    9^{3a - 1} = (3^2)^{3a - 1} = 3^{2(3a - 1)} = 3^{6a - 2}
    9^{3a + 2} = (3^2)^{3a + 2} = 3^{2(3a + 2)} = 3^{6a + 4}

  • 27 = 3³ olduğundan,
    27^{2a - 2} = (3^3)^{2a - 2} = 3^{3(2a - 2)} = 3^{6a - 6}
    27^{2a + 2} = (3^3)^{2a + 2} = 3^{3(2a + 2)} = 3^{6a + 6}

Şimdi ifade:

\frac{3^{6a - 2} - 3^{6a + 4}}{3^{6a - 6} - 3^{6a + 6}}

2. Pay ve Payda İşlemi

Payda ve paydaki ortak terimleri dışarı alalım.

Pay:

Ortadaki 3^{6a - 2} terimini dışarı alalım:

3^{6a - 2} - 3^{6a + 4} = 3^{6a - 2} \left(1 - 3^{6} \right)

Payda:

Ortadaki 3^{6a - 6} terimini dışarı alalım:

3^{6a - 6} - 3^{6a + 6} = 3^{6a - 6} \left(1 - 3^{12} \right)

İfade artık:

\frac{3^{6a - 2} (1 - 3^6)}{3^{6a - 6} (1 - 3^{12})}

Burada 3^{6a - 2} ve 3^{6a - 6} üsleri fark ettirerek sadeleşir:

\frac{3^{6a - 2}}{3^{6a - 6}} = 3^{(6a - 2) - (6a - 6)} = 3^{4}

3. Sonucun Hesaplanması

Şimdi ifade:

3^4 \times \frac{1 - 3^{6}}{1 - 3^{12}}

Üstteki terimlere bakalım:

  • 1 - 3^6 = 1 - 729 = -728
  • 1 - 3^{12} = 1 - 531441 = -531440

Bunu kesir olarak yazalım:

\frac{-728}{-531440} = \frac{728}{531440}

Bunun sadeleşmesini yapalım:

728 ve 531440 sayıları 8’in katıdır:

  • 728 ÷ 8 = 91
  • 531440 ÷ 8 = 66430

Yeni kesir: \frac{91}{66430}

Ama bu işlem biraz karmaşık gözüküyor, öyleyse ifadeyi faktörleyelim.

Alternatif olarak:

1 - 3^{12} ifadesi, (1 - 3^6)(1 + 3^6) olarak çarpanlara ayrılır, çünkü:

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Burada a = 1, b = 3^6 olduğundan:

1 - 3^{12} = (1 - 3^6)(1 + 3^6)

O halde:

\frac{1 - 3^{6}}{1 - 3^{12}} = \frac{1 - 3^6}{(1 - 3^6)(1 + 3^6)} = \frac{1}{1 + 3^6}

Sonuç artık:

3^4 \times \frac{1}{1 + 3^6} = \frac{3^4}{1 + 3^6}

4. Özet Tablo

İşlem Adımı Sonuç
9 ve 27’yi 3 tabanında yazma 3^{6a - 2} - 3^{6a + 4}, 3^{6a - 6} - 3^{6a + 6}
Ortak terimi dışarı alma 3^{4} \times \frac{1 - 3^6}{1 - 3^{12}}
Farklılık çarpanlara ayırma \frac{3^4}{1 + 3^6}

Sık Sorulan Sorular

1. 9 ve 27 gibi sayılar neden 3 tabanının kuvvetlerine çevrildi?
Çünkü üsleri aynı taban üzerinde sadeleştirebilmek için tabanların eşit olması gerekir. 9 = 3² ve 27 = 3³ olduğundan, üsler 3 tabanına çevrilir.

2. Farklılıkların çarpanlara ayrılması neden önemli?
Çünkü büyük kuvvet farkları genellikle çarpanlara ayrılarak sadeleştirilebilir, böylece ifadeler kolayca basitleşir.

3. Sonuç neden \frac{3^4}{1 + 3^6} oldu?
Çünkü pay ve paydada ortak olan terimler ve faktörler sadeleştirildi, ve farkın karekök formülleri kullanılarak sonuç bu sade hali aldı.

Sonraki Adımlar

İsterseniz size bu tür üs ve çarpanlara ayırma problemlerini daha kolay çözmeniz için bir adım adım rehber ya da pratik sorular oluşturabilirim. İlgilenir misiniz?

@Selin_Yildirim1