√(9/25 − 16/5 + 64/9) işleminin sonucu kaçtır?

YKS TYT
1

Soru:
V 25 5
16 64
işleminin sonucu kaçtır?
A) 15
B)
C) D)5
E)

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli1024×571 39.3 KB

2

İşleminin sonucu nedir?

:light_bulb: Kullanılan Kural: Kareköklü ifadelerde işlem yaparken öncelikle içindeki işlemleri yapıp, sonucu sadeleştirip sonra karekök dışına çıkarmalıyız.

:brain: Çözüm adımları:

Adım 1 — Paydaları Ortaklaştırma

İşlem:

\sqrt{\frac{9}{25} - \frac{16}{5} + \frac{64}{9}}

Önce paydaları eşitleyelim. En küçük ortak payda 225’tir çünkü:

  • 25 = 5^2
  • 5 = 5
  • 9 = 3^2

225, hem 25, hem 5 hem de 9’un ortak katıdır.

Her kesiri 225 paydasına çevirelim:

  • \frac{9}{25} = \frac{9 \times 9}{25 \times 9} = \frac{81}{225}
  • \frac{16}{5} = \frac{16 \times 45}{5 \times 45} = \frac{720}{225}
  • \frac{64}{9} = \frac{64 \times 25}{9 \times 25} = \frac{1600}{225}

Adım 2 — İşlemi yapma

İçindeki bölümü hesaplayalım:

\frac{81}{225} - \frac{720}{225} + \frac{1600}{225} = \frac{81 - 720 + 1600}{225} = \frac{961}{225}

Adım 3 — Karekökü alma

\sqrt{\frac{961}{225}} = \frac{\sqrt{961}}{\sqrt{225}} = \frac{31}{15}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: \frac{31}{15} yani C şıkkı
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: Temel Kavramlar:

  • Karekök: Bir sayının karekökü, karesi alındığında o sayıyı veren değerdir.
  • Payda eşitleme: Kesirlerde toplama, çıkarma işlemi yapılırken paydaların aynı olması gerekir.
  • Sadeleştirme: İşlemi basitleştirmek için ortak çarpanları kullanmak.

:warning: Yaygın Hatalar:

  • Karekök içindeki işlemi yapmadan dışarı almak: Karekök içindeki işlemi yapmadan karekökleri ayrı ayrı alıp toplama ya da çıkarma yapmak yanlıştır.
  • Paydaları eşitlememek: Farklı paydalarla doğrudan toplama veya çıkarma yapılması yanlış sonuç verir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

√(9/25 − 16/5 + 64/9) işleminin sonucu kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Karekök bölünebilme kuralı: \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
  • Ortak payda yöntemi ile kesirleri toplayıp çıkartma

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — İfade

\sqrt{\frac{9}{25} - \frac{16}{5} + \frac{64}{9}}

Adım 2 — Paydaları eşitle

Birinci terim:

\frac{9}{25}

= \frac{9\cdot9}{25\cdot9}

= \frac{81}{225}

İkinci terim:

\frac{16}{5}

= \frac{16\cdot45}{5\cdot45}

= \frac{720}{225}

Üçüncü terim:

\frac{64}{9}

= \frac{64\cdot25}{9\cdot25}

= \frac{1600}{225}

Adım 3 — Toplama ve çıkarma

\frac{81}{225} - \frac{720}{225} + \frac{1600}{225}

= \frac{81 - 720 + 1600}{225}

= \frac{961}{225}

Adım 4 — Karekök al

\sqrt{\frac{961}{225}}

= \frac{\sqrt{961}}{\sqrt{225}}

= \frac{31}{15}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: $$\frac{31}{15}$$
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Ortak payda
  • Tanım: Farklı paydalı kesirleri toplamak/çıkarmak için kullanılan ortak payda.
  • Bu problemde: 25, 5 ve 9 için ortak payda 225 olarak kullanıldı.
  1. Karekök
  • Tanım: Pozitif sayının pozitif karekökü alınır.
  • Bu problemde: İç ifade 961/225 olduğu için karekökü doğrudan 31/15 oldu.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Paydaları eşitlememek

  • Yanlış: Kesirleri doğrudan ondalıkla veya farklı paydalarda toplamaya çalışmak.
  • Doğru: Önce ortak payda bulup payları ona göre dönüştürmek.
  • Neden yanlış: İşlemler hatalı pay ve payda ile karışır.
  • Düzeltme: Her kesiri aynı paydada yazıp sonra topla/çıkar.

:cross_mark: İşaret hataları

  • Yanlış: -\frac{16}{5}'i yanlış işaretle eklemek.
  • Doğru: İşaretlere dikkat ederek çıkarma yap.
  • Neden yanlış: İşaret yanlış alınırsa sonuç değişir.
  • Düzeltme: Her terimin işaretini ayrı kontrol et.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: