8. Soruda ters fonksiyon işeri tam belli oluyordur inş

Sorumatik Kullanımı
1

görüntü
görüntü942×162 30.8 KB

2

8. Soruda f(x) = 3 - \frac{1}{x} fonksiyonunun 1-1 olduğunu gösterin ve f^{-1}(x)'i bulun

Cevap:

Bu soruda iki temel istek var:

  1. Fonksiyonun bire bir (1-1) olduğunu göstermek
  2. Fonksiyonun tersini (f^{-1}(x)) bulmak

İçindekiler

  1. Fonksiyonun bire bir (1-1) olduğunu gösterme
  2. Fonksiyonun tersini bulma
  3. Özet tablo

1. Fonksiyonun bire bir (1-1) olduğunu gösterme

Bir fonksiyonun bire bir (injektif) olması için, farklı girdilerin farklı çıktılar vermesi gerekir. Yani:

f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2

Fonksiyonumuz:

f(x) = 3 - \frac{1}{x}, \quad x \neq 0

Şimdi, f(x_1) = f(x_2) ise x_1 = x_2 olduğunu gösterelim.

Başlayalım:

3 - \frac{1}{x_1} = 3 - \frac{1}{x_2}

Her iki taraftan 3 çıkaralım:

- \frac{1}{x_1} = - \frac{1}{x_2}

İşaretleri kaldır:

\frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2}

Her iki tarafın paydasını eşitleyelim:

x_2 = x_1

Sonuç olarak, f(x_1) = f(x_2) ise x_1 = x_2 olur. Bu da fonksiyonun bire bir olduğunu gösterir.

2. Fonksiyonun tersini bulma

Fonksiyonun tersi f^{-1}(x), y = f(x) denkleminin x cinsinden çözülmesiyle bulunur.

Fonksiyonumuz:

y = 3 - \frac{1}{x}

Amacımız x'i y cinsinden ifade etmek.

Adımlar:

  1. Denklemi düzenleyelim:
y = 3 - \frac{1}{x} \implies \frac{1}{x} = 3 - y
  1. Her iki tarafın tersini alalım:
x = \frac{1}{3 - y}
  1. Ters fonksiyon f^{-1}(x) için y yerine x yazalım:
f^{-1}(x) = \frac{1}{3 - x}

3. Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Fonksiyon f(x) = 3 - \frac{1}{x}
Bire birlik kontrolü f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 Fonksiyon bire birdir
Ters fonksiyon denklemi y = 3 - \frac{1}{x} \frac{1}{x} = 3 - y
Ters fonksiyonun ifadesi x = \frac{1}{3 - y} f^{-1}(x) = \frac{1}{3 - x}

Özet

  • Fonksiyonun bire bir olduğunu göstermek için f(x_1) = f(x_2) eşitliğini kullanarak x_1 = x_2 sonucuna ulaştık.
  • Fonksiyonun tersini bulmak için y = f(x) denklemini x cinsinden çözdük ve ters fonksiyonun f^{-1}(x) = \frac{1}{3 - x} olduğunu bulduk.

Eğer başka sorularınız olursa, yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım!

@elif_ozbek

3

8. f(x)=3–1/x Fonksiyonunun 1-1 Olduğunu Gösterme ve Ters Fonksiyonunu Bulma

Table of Contents

  1. Fonksiyonun Tanımı ve Tanım Kümesi
  2. Bir-Birlilik (Injectivity) İncelenmesi
    2.1. Yöntem 1: f(a)=f(b) ile
    2.2. Yöntem 2: Türevle İşaret İncelenmesi
  3. Ters Fonksiyonun Hesaplanması
    3.1. 1. Adım: y=3–1/x Denkleminden Başlama
    3.2. 2. Adım: x’i Yalnız Bırakma
    3.3. 3. Adım: f^{-1}(x) İfadesi
  4. Tanım ve Değer Kümelerinin Değişimi
  5. Özet Tablosu
  6. Sonuç

1. Fonksiyonun Tanımı ve Tanım Kümesi

Fonksiyonumuz:

f(x) \;=\; 3 - \frac{1}{x}
  • Tanım Kümesi (Domain): x\in \mathbb{R}\setminus\{0\}, çünkü paydada sıfır olamaz.
  • Amacımız:
    1. Injectivity (1-1) kanıtı
    2. Ters fonksiyon f^{-1}(x) ifadesini bulmak

2. Bir-Birlilik (Injectivity) İncelenmesi

Bir fonksiyonun bir-birlilik koşulu:
“Eğer f(a)=f(b) ise mutlaka a=b olmalı.”

2.1. Yöntem 1: f(a)=f(b) ile

  1. İki farklı değer a,b\neq 0 için varsayalım ki
    f(a) = f(b)
  2. Yerine yazalım:
    3 - \frac{1}{a} \;=\; 3 - \frac{1}{b}
  3. Her iki taraftan 3’ü çıkaralım:
    -\frac{1}{a} = -\frac{1}{b}
  4. Eksi işaretleri gidelim:
    \frac{1}{a} = \frac{1}{b}
  5. Çapraz çarpma:
    b = a

Sonuç: f(a)=f(b) → a=b. Dolayısıyla f bir-birdir.

2.2. Yöntem 2: Türevle İşaret İncelenmesi

  1. f(x)=3 - x^{-1} olduğundan
    f'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(3 - x^{-1}\Bigr) = 0 + x^{-2} = \frac{1}{x^2}
  2. Her x\neq0 için x^2>0 \implies f'(x)>0.
  3. Pozitif türev → Fonksiyon sıkı şekilde artan → Injective.

3. Ters Fonksiyonun Hesaplanması

Ters fonksiyon, $f(x)$’in x ve y değişkenlerini yer değiştirerek ve $y$’yi yalnız bırakarak bulunur.

3.1. 1. Adım: y=3–1/x Denkleminden Başlama

y = 3 - \frac{1}{x}

3.2. 2. Adım: x’i Yalnız Bırakma

  1. y-3 = -\frac{1}{x}
  2. İşaretleri değiştir:
    3 - y = \frac{1}{x}
  3. Çapraz çarp:
    x = \frac{1}{\,3 - y\,}

3.3. 3. Adım: f⁻¹(x) İfadesi

  • Yerine y \to x koyarsak:
    f^{-1}(x) = \frac{1}{\,3 - x\,}
  • Tanım Kümesi: x\neq 3
  • Değer Kümesi: y\neq 0

4. Tanım ve Değer Kümelerinin Değişimi

Fonksiyon Tanım Kümesi Değer Kümesi
f(x) \mathbb{R}\setminus\{0\} \mathbb{R}\setminus\{3\}
f^{-1}(x) \mathbb{R}\setminus\{3\} \mathbb{R}\setminus\{0\}
  • f’in eksik ettiği değer y=3 → f⁻¹’in tanım kümesinden çıkar.
  • f’in tanım kümesi x=0 hariç → f⁻¹’in değer kümesinden çıkar.

5. Özet Tablosu

Aşama İşlem Sonuç
1. Injectivity kanıtı f(a)=f(b) → 3-\frac1a =3-\frac1b → \frac1a=\frac1b → a=b 1-1 Onaylandı
2. Türevle denetim f'(x)=\frac1{x^2}>0 Sıkı artan → Injective
3. Ters bulma y=3-\frac1x çöz → x=\frac1{3-y} → f^{-1}(x)=\frac1{3-x} Sonuç: f^{-1}(x)=\frac1{3-x}
4. Kümeler Domain/Range dönüşümü Tabloya bakınız

6. Sonuç

  • Fonksiyon f(x)=3-\frac1x bir-birlidir.
  • Ters fonksiyon f^{-1}(x)=\frac1{3-x} olarak bulunur.
  • Tanım/değer kümeleri karşılıklı olarak yer değiştirir:
    • f: x\neq0\mapsto y\neq3
    • f^{-1}: x\neq3\mapsto y\neq0

Not: Her iki yöntemi de bilmek, farklı sınav formatlarında size avantaj sağlar. Başarılar!

@elif_ozbek

4
  1. Soruyo da çöz