- Aşağidaki şekilde bir duvara asitt biçimde duran 8 6zdeş balon
vardır.
Aynı ipte asilı olan balonlardan en alttaki patiatiimadan bir
üstteki balon patlatilmamak ve her defasında sadece bir ba
lon patiatiimak koşuluyla bu sekiz balon kaç farkii siralama-
da patlatilabilir?
A) 140
B) 210
C) 280
D) 420
E) 560
8 Özdeş Balonun Patlatılma Sıralaması Problemi
[KULLANILAN FORMÜL:] Bu soru bir tekrarlı permütasyon problemidir. Belirli bir sıra ile yapılması gereken işlemler (alttaki patlamadan üsttekinin patlayamaması), o gruptaki nesnelerin kendi aralarında “özdeş” gibi hareket etmesine neden olur. Formül: \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot n_3!}
[ÇÖZÜM ADIMLARI:]
Adım 1 — Balon Gruplarının Belirlenmesi
Görsele baktığımızda 3 farklı ipte asılı balonlar görüyoruz:
- 1. İp: 3 balon
- 2. İp: 3 balon
- 3. İp: 2 balon
- Toplam balon sayısı: 3 + 3 + 2 = 8 balon.
Adım 2 — Koşulun Analiz Edilmesi
Soruda “en alttaki patlatılmadan bir üstteki patlatılmamak” koşulu verilmiştir. Bu, her ipteki balonların kendi içinde tek bir sıralamaya (aşağıdan yukarıya) sahip olduğunu gösterir. Matematiksel olarak bu durum, aynı ipteki balonları kendi aralarında yer değiştiremez (özdeş) kabul etmemizi sağlar.
Adım 3 — Tekrarlı Permütasyon Hesaplaması
Tüm balonların toplam diziliş sayısını, her bir ipteki balon sayısının faktöriyeline bölerek sonucu buluruz:
\text{Sıralama Sayısı} = \frac{8!}{3! \cdot 3! \cdot 2!}
Adım 4 — İşlemin Yapılması
- 8! = 40320
- 3! = 6
- 2! = 2
\text{Sonuç} = \frac{40320}{6 \cdot 6 \cdot 2} = \frac{40320}{72} = 560
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[CEVAP:] 560 (E Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[TEMEL KAVRAMLAR:]
1. Tekrarlı Permütasyon
- [Tanım:] Bazı elemanları özdeş olan bir kümenin diziliş sayısıdır.
- [Bu problemde:] Aynı ipteki balonların patlatılma sırası zorunlu olduğu için, bu balonlar kendi aralarında özdeş nesneler gibi işleme alınır.
[SIK YAPILAN HATALAR:]
Tüm Balonları Farklı Saymak
- [Yanlış:] Sadece 8! hesaplamak.
- [Doğru:] İplerdeki hiyerarşiyi (alt-üst ilişkisini) dikkate alarak bölme işlemi yapmak.
- [Neden yanlış:] Çünkü her ipteki 3 veya 2 balonun kendi arasında 1 doğru patlatılma sırası vardır, diğer olasılıklar kural dışıdır.
Bu tarz tekrarlı permütasyon sorularında “özdeş nesne” mantığını kavramak çözümün anahtarıdır. Benzer mantıkla çalışan “bir kelimenin harfleriyle anlamlı/anlamsız kelime yazma” sorularından bir tane daha çözmemi ister misin?
Ya ben hala mantığını Anlayamadım neden Özde sayılıyor ve Hani daha basit bir şekilde anlatır mısın
Balon Patlatma Sorusu: Özdeşlik Mantığı ve Basit Anlatım
Merhaba Gülizar! Bu konunun neden “özdeşlik” (tekrarlı permütasyon) mantığıyla çözüldüğünü çok daha basit, günlük hayattan bir örnekle açıklayayım. Zihninde canlanınca çok daha kolay gelecek.
Neden Özdeş Sayıyoruz? (Basit Mantık)
Aslında balonlar birbirinin aynısı (fiziksel olarak özdeş) olduğu için değil, hareket alanımız kısıtlı olduğu için özdeş sayıyoruz.
Şöyle düşün: Elinde 3 tane balon olan bir ip var. Bu balonları patlatmak istiyorsun ama bir kural var: “Önce en alttakini patlatmalısın.”
Eğer kural olmasaydı, bu 3 balon kendi arasında 6 farklı şekilde (3!) patlatılabilirdi. Ama kural sana diyor ki: “Senin sadece 1 seçeneğin var, o da aşağıdan yukarıya doğru gitmek.”
Matematikte bir grubun kendi içindeki sıralaması tek bir seçeneğe düşürülmüşse, biz o grubu özdeş kabul ederiz. Çünkü onları kendi aralarında yer değiştirme “özgürlüğümüz” elimizden alınmıştır.
Somut Örnek: Basamaklı Bir Senaryo
Daha iyi anlamak için 8 balon yerine sadece 3 balon olduğunu hayal edelim:
- A İpinde: 2 balon (Alttaki: A_1, Üstteki: A_2)
- B İpinde: 1 balon (Sadece B_1)
Bu balonları hangi sıralarla patlatabiliriz?
- A_1 \rightarrow A_2 \rightarrow B_1
- A_1 \rightarrow B_1 \rightarrow A_2
- B_1 \rightarrow A_1 \rightarrow A_2
Gördüğün gibi sadece 3 durum var. Eğer kural olmasaydı 3! = 6 durum olacaktı.
Formülle yaparsak: \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{6}{2} = 3 sonucuna ulaşırız. İşte formüldeki o alttaki 2!, “A ipindeki balonlar kendi aralarında yer değiştiremez” demektir.
Sorunun Adım Adım En Basit Çözümü
Sorudaki toplam 8 boşluğa (patlatma sırasına) sahip olduğumuzu düşün:
_ _ _ _ _ _ _ _
- Toplam Durum: Eğer hiçbir kural olmasaydı 8! kadar farklı sıralama olurdu.
- 1. İp Engeli: İlk ipteki 3 balonun kendi arasındaki 3! (6) farklı dizilişinden sadece 1 tanesi (aşağıdan yukarıya olan) doğrudur. Bu yüzden tüm durumu $3!$’e bölerek yanlışları eliyoruz.
- 2. İp Engeli: İkinci ipteki 3 balon için de aynı şey geçerli. Yine $3!$’e bölüyoruz.
- 3. İp Engeli: Üçüncü ipteki 2 balon için de $2!$’e bölüyoruz.
İşlem:
\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)}
Sadeleştirelim:
- Alttaki 3 \cdot 2 \cdot 1 (6), yukarıdaki 6’yı götürür.
- Alttaki diğer 3 \cdot 2 = 6 ve 2, yukarıdaki 8 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 4 kısmını sadeleştirir.
Sonuçta elimizde 560 kalır.
Özetle: Bir soruda “şu işlem yapılmadan diğeri yapılamaz” veya “belirli bir hiyerarşi/sıra vardır” deniliyorsa, orada o nesneleri özdeş kabul edip tekrarlı permütasyon yapmalısın.
Mantığına şimdi biraz daha yattı mı, yoksa başka bir örnek üzerinden mi gidelim?