o)
nl+ (0 + 1)T
8 Olduģuna göre, r kaçtir?
\frac{n!}{n! + (n+1)!} = \frac{1}{8} Eşitliğini Sağlayan n Değerinin Bulunması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Faktöriyel Açılımı: (n+1)! = (n+1) \cdot n!
- Ortak Paranteze Alma: a \cdot b + a \cdot c = a(b + c)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Paydadaki Faktöriyeli Açma
Paydada yer alan (n+1)! ifadesini n! cinsinden yazalım:
(n+1)! = (n+1) \cdot n!
Adım 2 — Paydayı Ortak Çarpan Parantezine Alma
Paydadaki ifadede her iki terimde de bulunan n! ortak parantezine alalım:
n! + (n+1)! = n! + (n+1) \cdot n! = n! \cdot [1 + (n+1)] = n! \cdot (n + 2)
Adım 3 — Kesirde Sadeleştirme Yapma
Bulduğumuz ifadeyi ana denklemde yerine koyalım ve pay ile paydadaki n! ifadelerini sadeleştirelim:
\frac{n!}{n! \cdot (n + 2)} = \frac{1}{n + 2}
Adım 4 — n Değerini Hesaplama
Sadeleşmiş kesri verilen \frac{1}{8} değerine eşitleyelim:
\frac{1}{n + 2} = \frac{1}{8}
n + 2 = 8
n = 8 - 2
n = 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: n = 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Faktöriyel İndirgeme
- Tanım: Büyük faktöriyelli bir sayıyı, kendisinden küçük bir faktöriyel cinsinden çarpanlarına ayırma işlemidir.
- Bu problemde: (n+1)! ifadesi (n+1) \cdot n! şeklinde yazılarak paydaki n! ile sadeleşebilir duruma getirilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Pay ve Paydayı Hatalı Sadeleştirme
- Yanlış: \frac{n!}{n! + (n+1)!} ifadesinde sadece ilk terimdeki n! ile üstteki n!'i sadeleştirip \frac{1}{(n+1)!} yazmak.
- Doğru: Paydadaki toplama işlemi tamamlanmadan veya ortak paranteze alınmadan sadeleştirme yapılmaz.
- Neden yanlış: Toplama durumundaki terimlerin sadece biri sadeleştirilemez; paydadaki tüm terimlerin ortak çarpana sahip olması gerekir.
Benzer bir faktöriyel sadeleştirme sorusu daha çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?