8.a 0ve m, n birer tam sayl olmak üzere
al-am = al +m dir.
Aşağıda 3x3 birim karelerden oluşmuş bir karenin her
birim karesine 21, 22, 29, 24, 25, 29, 27, 2", 2 sayıları yer-
leştiriliyor. Yerleştirme sonunda her satır ve sütundaki
sayıların çarpımları 215 sayisına eşit oluyor.
Karenin köşegenleri hizasında yer alan sayıların
çarpımı da 215 olduğuna göre A hücresine yerteştiri-
len sayı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2
A
B) 22
) 25
D) 29
Üslü İfadelerde Sihirli Kare Mantığı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır:
a^n \cdot a^m = a^{n+m}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Üslerin Toplamını Bulma
Tabanlar 2 olduğu için çarpım durumunda üsler toplanır. Hücrelere yerleştirilecek sayıların üsleri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9’dur. Tüm üslerin toplamını hesaplayalım:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = \frac{9 \cdot 10}{2} = 45
Her bir satır, sütun ve köşegendeki sayıların çarpımı 2^{15} olduğuna göre, her bir doğru boyunca üslerin toplamı 15 olmalıdır:
15 + 15 + 15 = 45
Adım 2 — Merkez Hücredeki (A) Sayının Üssünü Belirleme
Merkezdeki A hücresi; 2. satır, 2. sütun ve her iki köşegen olmak üzere toplam 4 farklı doğrultunun kesişim noktasındadır. A’nın üssüne x diyelim.
Bu 4 doğrunun üsler toplamını yazarsak:
- 2. Satır = 15
- 2. Sütun = 15
- 1. Köşegen = 15
- 2. Köşegen = 15
Bu 4 doğrunun toplamı:
15 + 15 + 15 + 15 = 60
Bu toplamda karenin tüm hücreleri birer kez toplanmış, merkezdeki x değeri ise fazladan 3 defa (toplam 4 kez) sayılmıştır:
(\text{Tüm Hücrelerin Toplamı}) + 3x = 60
45 + 3x = 60
3x = 15 \implies x = 5
Bu durumda merkezdeki A hücresine yerleştirilen sayı 2^5 olmalıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 2^5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Sihirli Kare (Magic Square): 3 \times 3 boyutundaki standart bir toplamsal sihirli karede merkezdeki eleman, daima tüm sayıların aritmetik ortalamasına (veya sihirli toplamın üçte birine: \frac{15}{3} = 5) eşittir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Tüm sayıları rastgele kareye yerleştirmeyi deneyerek vakit kaybetmek.- Doğru Yaklaşım: Çarpımları üslerin toplamına dönüştürerek sihirli kare simetrisinden merkez elemanı doğrudan denklemle bulmak.
Bu soru tipinde köşegen kuralı verilmeseydi sonucun nasıl değişebileceğini birlikte incelemek ister misin?