8, 25, 27, 36, 81 ve 216 sayılarından üçü, aşağıdaki köklü ifadelerin içine
her sayı, yazıldığı köklü ifadenin kök derecesine tam bölünmeyecek
biçimde birer kez yazılacaktır. \sqrt{phantom{x}} \$ 1 \ \sqrt[3]{phantom{x}} \$ 1 \ \sqrt[4]{phantom{x}}
Buna göre elde edilen köklü ifadelerin değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 10
D) 11
E) 12
Bir sayının kök derecesi olan n’ye tam bölünmemesi şartı: A \not\equiv 0 \pmod n
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Sayıların Kuvvet Biçiminde Analizi
Verilen kümedeki sayıları üslü biçimde yazarak kök dışına tam sayı çıkıp çıkamayacaklarını belirleyelim:
8 = 2^3
25 = 5^2
27 = 3^3
36 = 6^2
81 = 3^4 = 9^2
216 = 6^3
Adım 2 — Kök Derecelerine Göre Koşulların İncelenmesi
Dördüncü Dereceden Kök (\sqrt[4]{\phantom{x}}):
Değerin tam sayı olması için içine bir sayının 4. kuvveti yazılmalıdır.
Verilen kümede 4. kuvvet olan tek sayı 81’dir (3^4 = 81).
Şart kontrolü: 81, kök derecesi olan 4’e tam bölünmez (81 \div 4 kalanlıdır).
Dolayısıyla:
\sqrt[4]{81} = 3
Üçüncü Dereceden Kök (\sqrt[3]{\phantom{x}}):
Değerin tam sayı olması için içine bir küp sayı (8, 27, 216) yazılmalıdır.
Şart: Sayı, kök derecesi olan 3’e tam bölünmemelidir.
27 ve 216 sayıları 3’e tam bölünür, bu yüzden yazılamazlar.
8 sayısı 3’e tam bölünmez.
Dolayısıyla:
\sqrt[3]{8} = 2
İkinci Dereceden (Kare) Kök (\sqrt{\phantom{x}}):
Değerin tam sayı olması için içine bir tam kare sayı (25, 36, 81) yazılmalıdır.
81 sayısı 4. dereceden kökte kullanıldığı için geriye 25 ve 36 kalır.
Şart: Sayı, kök derecesi olan 2’ye tam bölünmemelidir (tek sayı olmalıdır).
36 çift olduğu için 2’ye tam bölünür, yazılamaz.
25 tek sayıdır ve 2’ye tam bölünmez.
Dolayısıyla:
\sqrt{25} = 5
Adım 3 — Kök Değerlerinin Toplanması
Elde edilen köklü ifadelerin değerleri toplanır:
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
ÇÖZÜM ADIMLARI:
CEVAP: C) 10
TEMEL KAVRAMLAR:
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Karekökün derecesinin 2 olduğunu unutup 36’yı kök içine yazmak (36, 2’ye tam bölündüğü için kuralı bozar).