7th Termini 1, 12th Termini a Olan Bir Geometrik Dizinin 32nd Termi Nedir?

YKS TYT
1

image
image411×236 13.4 KB

2

7th Termini 1, 12th Termini a Olan Bir Geometrik Dizinin 32nd Termi Nedir?

Önemli Noktalar

  • Geometrik dizide terimler arasında sabit oran (r) bulunur
  • Genel terim formülü: ( a_n = a_1 \times r^{n-1} )
  • Verilen 7. terim 1 ise: ( a_7 = a_1 \times r^6 = 1 )
    1. terim ( a ) ise: ( a_{12} = a_1 \times r^{11} = a )
  • Amaç 32. terimi ( a_{32} = ? ) bulmak

Çözüm Adımları

  1. Genel terimler şu şekilde:
    [ a_7 = a_1 r^{6} = 1 ]
    [ a_{12} = a_1 r^{11} = a ]

  2. İlk denklemden:
    [ a_1 = \frac{1}{r^6} ]

  3. İkinci denkleme yerine koyarsak:
    [ a_1 r^{11} = a \Rightarrow \frac{1}{r^6} \times r^{11} = a \Rightarrow r^{5} = a ]

  4. Buradan:
    [ r = a^{\frac{1}{5}} ]

  5. ( a_1 )'i bulalım:
    [ a_1 = \frac{1}{(a^{1/5})^6} = \frac{1}{a^{6/5}} = a^{-6/5} ]

    1. terim:
      [ a_{32} = a_1 r^{31} = a^{-6/5} \times \left(a^{1/5}\right)^{31} = a^{-6/5} \times a^{31/5} = a^{(31/5 - 6/5)} = a^{25/5} = a^{5} ]

Sonuç:

Doğru seçenek C şıkkıdır: ( a^{5} ).

Özet Tablo

Eleman Değer
(a_7) 1
(a_{12}) (a)
Oran (r) (a^{1/5})
İlk terim (a_1) (a^{-6/5})
(a_{32}) (a^{5})

Sık Sorulan Sorular

1. Geometrik dizide terim formülü nedir?
Genel formül ( a_n = a_1 \times r^{n-1} ) şeklindedir. Burada ( a_1 ) ilk terim, ( r ) ortak orandır.

2. Oranı bulmak için terimler nasıl kullanılır?
İki terim kullanılarak oran denklemi kurulabilir: Örneğin, ( \frac{a_m}{a_n} = r^{m-n} ) şeklinde.

3. Üslerin toplamı nasıl hesaplanır?
Aynı tabanlı üsler toplanırken üsler toplanır: ( a^m \times a^n = a^{m+n} ).

Sonraki Adımlar

Geometrik dizi problemlerinde üslerin toplama ve çıkarma kurallarını uygulayan farklı örnekler ister misiniz? Ya da aritmetik dizi ile karşılaştırmalı örnekler sunayım mı?

@Abdurrahman2134

3

7. terimi 1, 12. terimi a olan bir geometrik dizinin 32. terimi nedir?

  • Temel Noktalar
    • Geometrik dizinin genel terimi U_n = U_1 \cdot r^{n-1} şeklindedir.
    • İki terim oranı: r^{k-j} = \frac{U_k}{U_j}.
    • U_7=1 ve U_{12}=a verilerek r^5=a bulunur.

32. terim $a^5$’tir.

İçindekiler

  1. Çözüm Süreci
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Süreci

Geometrik dizinin genel terimi

U_n = U_1 \cdot r^{n-1}

olarak tanımlanır. Verilenler:

  • U_7 = 1 \implies U_1 \cdot r^6 = 1
  • U_{12} = a \implies U_1 \cdot r^{11} = a

Bölme işlemiyle ortak oran hesabı:

\frac{U_{12}}{U_7} = \frac{a}{1} = r^{11-6} = r^5 \quad\Longrightarrow\quad r^5 = a \quad\Longrightarrow\quad r = a^{1/5}.

Ardından

U_1 = \frac{1}{r^6} = a^{-6/5},

ve

U_{32} = U_1 \cdot r^{31} = a^{-6/5} \cdot \bigl(a^{1/5}\bigr)^{31} = a^{-6/5 + 31/5} = a^{25/5} = a^5.

Karşılaştırma Tablosu

Özellik Aritmetik Dizi Geometrik Dizi
Tanım Terimler arası fark sabittir. Terimler arası oran sabittir.
Genel Terim U_n = U_1 + (n-1)d U_n = U_1 \cdot r^{n-1}
Ortak Değer d = U_k - U_{k-1} r = \frac{U_k}{U_{k-1}}
Örnek 2,5,8,11,\dots (d=3) 2,6,18,54,\dots (r=3)

Özet Tablosu

Veri Noktası Değer
U_7 1
U_{12} a
Ortak Oran r a^{1/5}
U_{32} a^5

SSS

  1. Geometrik dizide ortak oran nasıl bulunur?
    • İki terim oranı alınır: r = \sqrt[k-j]{\frac{U_k}{U_j}}.
  2. Genel terim formülü nedir?
    • U_n = U_1 \cdot r^{n-1}.
  3. Negatif veya kesirli r sayıları için formül geçerli mi?
    • Evet; üs ve işaret kurallarıyla doğrudan uygulanır.
  4. Bir dizi hem aritmetik hem geometrik olabilir mi?
    • Sadece tüm terimleri eşit (sabit dizi) ise mümkündür.

Daha fazla uygulama sorusu çözmek ister misiniz?

@Abdurrahman2134