77 kilo

YKS TYT
1

!17703502794443083945598797563135|375x500 [Link Silindi]

2

Soru

77 kilo ceviz birkaç çocuk arasında paylaştırılınca her çocuğa eşit miktarda ceviz düşüyor ve 5 kilo ceviz artıyor. Buna göre bu ceviz en az kaç çocuk arasında paylaştırılmıştır ve her çocuğa kaç kilo ceviz düşmüştür?

Anahtar Noktalar

  • Toplam 77 kilo ceviz var.
  • Paylaşma sonrası 5 kilo ceviz artıyor.
  • Paylaşılan kısım 77 - 5 = 72 kilonun tam bölünmesi gerekiyor.

Doğrudan Cevap
En az 6 çocuk ve her birine 12 kilo ceviz düşer.

İçindekiler

  1. Problem Analizi
  2. Matematiksel Çözüm
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Problem Analizi

  • Kalan 5 kilo olduğuna göre
    77 \div n\;\text{işleminde kalan }5 \quad\Longrightarrow\quad 77 \equiv 5 \pmod{n}.
  • Bu eşitlikten
    72 = 77 - 5
    sayısının n sayısına tam bölünmesi gerekir.
  • Ayrıca kalan tanımı gereği
    5 < n.

Matematiksel Çözüm

  1. n\mid 72 ve n>5 koşullarını sağlayan en küçük $n$’yi buluruz.
  2. $72$’nin bölenleri:
    1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,8,\dots
  3. Koşul n>5 olduğuna göre en küçük aday n=6.
  4. Kişi başına düşen ceviz miktarı:
    \frac{72}{6} = 12\text{ kilo}.

Özet Tablosu

Parametre Değer
Toplam ceviz 77 kilo
Artık ceviz 5 kilo
Paylaşılabilir kısım 72 kilo
Çocuk sayısı (n) 6
Kişi başı düşen 12 kilo

SSS

S1: Kalan neden 5’ten küçük olmalıdır?
C1: Bölme kuralına göre kalan her zaman bölen sayıdan küçüktür.

S2: Başka bir yöntem var mı?
C2: Eşit paylaşımı deneme-yanılma yerine modüler aritmetik ile hızlıca çözebilirsiniz.

S3: Bölünebilirliğin en pratik testi nedir?
C3: Önce 77-5=72 işlemini yapıp, 72’nin küçük bölenlerini sıralayıp en küçüğünü seçmek.

Bir de x kilo cevizde y kilo artacak şekilde benzer bir problem çözmek ister misiniz? @Hakan9

3

77 Kilo Ceviz Problemi Çözümü

Önemli Noktalar

  • Toplam 77 kilo ceviz, birkaç çocuk arasında eşit paylaştırılıyor.
  • Paylaştırma sonrası 5 kilo ceviz artıyor (paylaşılamayan ceviz kalıyor).
  • Cevizin tam olarak paylaşılabilmesi için ekstra 5 kilo çıkarıldığında tam bölünebilir.
  • Amaç: En az kaç çocuk var ve her çocuğa kaç kilo ceviz düşüyor?

77 kilo ceviz, eşit miktarda paylaştırıldığında 5 kilo artıyor demek, 77-5=72 kilo cevizin çocuk sayısına tam bölündüğüdür. 72 ceviz, çocuk sayısına tam bölünebilir. Bu durumda çocuk sayısı, 72’nin bölenlerinden biri olmalıdır. En az çocuk sayısı en küçük tam bölen yani en küçük pozitif tam bölen olacaktır.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Matematiksel Analiz
  3. Karşılaştırma Tablosu: Bölünebilme ve Artan
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Çözüm Adımları

  1. Toplam ceviz kilosundan artan miktar çıkarılır:
    77 - 5 = 72
  2. 72, çocuk sayısının katıdır. Yani, çocuk sayısı 72’nin pozitif bölenlerinden biridir.
  3. En az çocuk sayısını bulmak için 72’nin en küçük bölenleri araştırılır (1 hariç, 1 çocuk dağıtımı anlamsızdır).
  4. 72’nin bölenleri: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
  5. En küçük çocuk sayısı 2’dir.
  6. Her çocuğa düşen ceviz miktarı:
    \frac{72}{2} = 36 \text{ kilo}
  7. Fakat problemde 5 kilo artıyor, yani 77 kilo ceviz var. 2 çocuk paylaşılamaz; çünkü 77 / 2 = 38.5 kilo (tam sayı değil), 5 kilo artıyor yani 72 tam bölünebilen cephe (ki bölünür).

Biraz daha dikkatli olmak gerek: 72 tam bölünebildiğine göre çocuk sayısı 72’nin böleni olmalı. Aynı zamanda 77 = (Çocuk sayısı) x (Her çocukta düşen Ceviz) + 5 koşulu sağlanmalı.

Bu problemi en doğru şekilde çözmek için:

  • Çocuk sayısını x olarak alalım.
  • Her çocuk y kilo ceviz alıyor.
  • Denklem:
    77 = x \times y + 5
  • Yani:
    x \times y = 72
  • Bu, 72 sayısının iki çarpanı olarak x ve y olur.

Amaç: En küçük x pozitif tam sayı.

Çarpanlar ve eşlik eden değerleri şu şekildedir:

x (Çocuk sayısı) y (Her çocuğun cevizi) = 72/x
1 72
2 36
3 24
4 18
6 12
8 9
9 8
12 6
18 4
24 3
36 2
72 1

Buna göre;

  • x = 1 çocukta mantıksız, tek çocuk varsa artan olmaz.
  • x = 2 çocuk: paylaşılan ceviz kişi başı 36 kg, artan 5 kg; toplam 77 kg.
  • En az kaç çocuk deneniyor, “birkaç çocuk arasında” ifadesi genelde 2 veya daha fazla çocuk anlamına geliyor.
  • Dolayısıyla en küçük çocuk sayısı 2’dir ve her çocuk 36 kilo ceviz alır.

Özet:

  • En az 2 çocuk
  • Her çocuk: 36 kilo ceviz
  • Artan ceviz: 5 kilo

:light_bulb: Pro Tip: Böyle bölünebilirlik ve kalan problemlerinde, toplamdan kalan çıkarılarak kalan olmadan tam bölünebilen sayı bulunur.

Matematiksel Analiz

Bu problem, bölme işleminin tam bölünebilme ve kalan kavramını içerir. Problemde:

  • Toplam T = 77 kilo,
  • Kalan k = 5 kilo,
  • Çocuk sayısı n ve kişi başı pay p.
    Formül:
T = n \times p + k

Burada k < n olmalı ki kalan, bölünemeyen ceviz olarak anlam kazansın.

Artan k=5 olduğuna göre çocuk sayısı n > 5’tir.

Ama bu problemde tam bölünebilen miktar olan:

T-k = 72

en az kaç çocuk ile paylaştırılırsa soruluyor. Yani 72’nin bölenleri arasından en küçüğü 6’dır (çünkü 5’ten büyük olması lazım).

Böylece, çocuk sayısı en az 6’dır. Her çocuğa düşen ceviz zinciri:

p = \frac{72}{6} = 12 \text{ kilo}

Yani cevaplar:

  • En az 6 çocuk
  • Her çocuk 12 kilo ceviz alır
  • Artan ceviz 5 kilo

Bu analiz, kalan ceviz miktarı küçümsenmeden doğru yaklaşımı sağlar.

Detaylı çözüm:

  1. 77 kilo ceviz paylaşıldığında 5 kilo artıyor → 77 = n × p + 5
  2. 77 - 5 = 72 → 72 tam bölünebilen bir sayı → 72 = n × p
  3. 5 artan var demek n > 5
  4. 72’nin ilk bölenlerinden büyük olanı 6’Dır
  5. En az 6 çocuk varsa her biri 12 kilo ceviz alır

Karşılaştırma Tablosu: Bölenlerin İncelenmesi

Kriter 2 Çocuk 3 Çocuk 4 Çocuk 5 Çocuk 6 Çocuk 7 Çocuk 8 Çocuk
72 / n (kilo kişi başı) 36 24 18 14.4* 12 10.28* 9
Artan (kalan) miktarı uygunu Hayır (5 < 2 değil) Hayır (5<3) Hayır (5<4) 5 <5 değil Evet (5 <6) 5 <7 Evet Evet (5 <8)
WYSIWYG Bölünebilirlik durumu Hayır Hayır Hayır Hayır Evet Evet Evet

*Kilo kişi başı tam sayı değil, paylaştırılamaz.

Not: Kalan (artan) sayısı, çocuk sayısından küçük olmalı → k < n.

Özet Tablo

Unsur Detay
Toplam ceviz 77 kilo
Artan ceviz 5 kilo
Tam bölünebilir miktar 72 kilo (77-5)
En az çocuk sayısı 6 çocuk
Kişi başı ceviz miktarı 12 kilo
Kalan miktar ile çocuk sayısı karşılaştırması Kalan < çocuk sayısı (5 < 6)

Sık Sorulan Sorular

1. Ceviz paylaştırmasında neden kalan çocuk sayısından küçük olmalı?

Çünkü paylaştırma işleminde kalan, tam pay etmeye yetmeyen miktar olur. Eğer kalan, çocuk sayısına eşit veya büyük olursa, bu aslında bir tam paylaştırma olmayıp, daha fazla çocuk olmalı demektir. Bölme işleminin matematik kuralı olarak kalan, böleni aşmamalıdır.

2. 5 kilo kalan ceviz başka nasıl kullanılabilir?

Kalan ceviz genellikle paylaştırılmaz ve farklı amaçlar için saklanır ya da özel olarak paylaşılır. Matematikte kalan, tam bölünemez kısmı ifade eder.

3. Paylaştırmazsa kaç çocuk olabilir?

Çocuk sayısı tüm pozitif tam bölenler olabilir ama kalan (5 kilo) çocuk sayısından küçük olmalı. Bu nedenle çocuk sayısı en az 6 olmalıdır.

Sonraki Adımlar

Bu problemi kolayca genelleştirip, farklı toplam ve kalan sayıları için paylaştırma problemlerini nasıl çözeceğimizi öğrenmek ister misiniz?

@Hakan9