75 75 30 üçgeni

Genel Kültür
1

75 75 30 üçgeni

2

75°–75°–30° Üçgeni Nedir?

Cevap:
75°–75°–30° üçgeni, köşelerindeki açılar A = 30°, B = 75°, C = 75° olacak şekilde oluşturulan bir ikizkenar üçgendir. Bu üçgende ∠B = ∠C = 75° olduğundan, karşılarındaki AB ve AC kenarları eşittir. Aşağıda, bu özel üçgenin temel özellikleri, kenar oranları, alanı, yükseklik ve çember yarıçapları adım adım özetlenmiştir.

İçindekiler

  1. Kenar Oranları (Law of Sines)
  2. Alan Hesabı
  3. Yükseklik ve İrtiler
  4. Çevrel ve İç Çember Yarıçapları
  5. Özet Tablo
  6. Sonuç ve Özet

1. Kenar Oranları (Law of Sines)

Law of Sines kullanarak kenar uzunluklarını açılarla ilişkilendirelim.

  • ∠A = 30°, ∠B = 75°, ∠C = 75°
  • AB = c (köşe C’ye karşı), AC = b (köşe B’ye karşı), BC = a (köşe A’ya karşı)

Law of Sines:
$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k
$

  1. Önce k = \frac{a}{\sin30°} = \frac{a}{1/2} = 2a
  2. Eşit kenarlar b = c = k\sin75° = 2a\sin75°

Dolayısıyla:

  • a (taban) = a
  • b = c = 2a\sin75° = 2a\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = a\;\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}

İsterseniz eşit kenarları 1 birim kabul ederek tabanı bulabilirsiniz:

  • b = c = 1 ⇒ k = 1/\sin75° = \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}
  • a = k\sin30° = \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\cdot\frac12 = \frac{2}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\approx0{,}5176

2. Alan Hesabı

Eşit kenarları 1 birim kabul edersek:

  • Taban a = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}
  • Alan formülü: \,\displaystyle A = \tfrac12\,b\,c\sin A

Burada b = c = 1, A = 30° ise:

$
A = \tfrac12 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin30°
= \tfrac12 \cdot \tfrac12
= \tfrac14
= 0{,}25
$

3. Yükseklik ve İrtiler

Apex’ten tabana inen yükseklik h_a:

  • Yükseklik h_a = b\sin C = 1\cdot\sin75° = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx0{,}9659

Taban kenarından eşit kenara inen irtiler ise simetrik olarak:

  • h_b = a\sin C = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\,\sin75°\approx0{,}5176\cdot0{,}9659\approx0{,}5000

4. Çevrel ve İç Çember Yarıçapları

  1. Çevrel Çember Yarıçapı R:
    $
    R = \frac{a}{2\sin A}
    = \frac{a}{2\sin30°}
    = \frac{a}{2\cdot\frac12}
    = a
    $
    Eşit kenarları 1 kabul ettiğimizde a=c olduğu için R=\,1.

  2. İnç Çember Yarıçapı r:
    $
    r = \frac{2A_{\triangle}}{a+b+c}
    = \frac{2\cdot0.25}{\bigl(\tfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}+1+1\bigr)}
    = \frac{0.5}{2 + \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}
    $
    Yaklaşık değeri r\approx0{,}2071.

5. Özet Tablo

Özellik Değer / Formül
Açılar A = 30°, B = 75°, C = 75°
Kenar Oranları b = c = a\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}, a serbest
Eşit Kenarlar = 1 ise Taban a = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\approx0{,}5176
Alan A = \frac14\approx0{,}25
Yükseklik (h_a) \sin75° \approx0{,}9659
Çevrel Çember Yarıçapı (R) R = a (eşit kenarlar = 1 ⇒ R=1)
İç Çember Yarıçapı (r) \approx0{,}2071

6. Sonuç ve Özet

  • 75°–75°–30° üçgeni, taban açısı 30° olan ikizkenar bir üçgendir.
  • Law of Sines ile kenar oranları b=c ve a:b:c = 1 : \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} : \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} veya eşit kenarları 1 birim kabul edersek taban \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}’dir.
  • Alanı 0,25 birim², çevrel çember yarıçapı 1 birim, iç çember yarıçapı ≈0,2071 birimdir.
  • Bu üçgen, özellikle 15°–75° gibi açı sağlayan geometri problemlerinde sıkça kullanılır.

@Dersnotu Espero yardımcı olmuştur!