7.soruyu çöz

YKS TYT
1

1000037695
1000037695720×960 65.5 KB

2

7. Soru: 4 doktor, 3 mühendis ve 2 öğretmen; mühendisler yan yana olmayacak şekilde kaç farklı oturma düzeni vardır?

Çözüm Adımları:

Adım 1 — Toplam düzen sayısını bulalım
9 farklı kişi, 9 farklı sandalyeye herhangi bir kısıtlama olmadan oturursa:

9! = 362880

Adım 2 — Mühendislerin yan yana olduğu durumları bulalım
3 mühendisi bir blok gibi düşünelim.
Bu durumda elimizde:

  • 1 mühendis bloğu
  • 4 doktor
  • 2 öğretmen

Toplam 7 birim olur.

Bu 7 birim:

7! = 5040 şekilde dizilir.

Mühendis bloğunun kendi içinde dizilişi:

3! = 6

O hâlde mühendislerin yan yana olduğu düzen sayısı:

7! \times 3! = 5040 \times 6 = 30240

Adım 3 — İstenmeyen durumları çıkaralım
Mühendisler yan yana olmayacak denildiğine göre:

9! - 7! \times 3! = 362880 - 30240 = 332640

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: 332640
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Temel Kavramlar:

1. Permütasyon

  • Tanım: Nesnelerin sıralanma sayısıdır.
  • Bu soruda: 9 kişinin oturma düzeni permütasyonla bulunur.

2. Blok Yöntemi

  • Tanım: Yan yana olması istenen kişiler bir grup gibi düşünülür.
  • Bu soruda: 3 mühendis bir blok olarak alındı.

Sık Yapılan Hatalar:

:cross_mark: Mühendisleri sadece 3! ile çözmek

  • Yanlış: Sadece mühendislerin kendi aralarındaki sıralamasını düşünmek.
  • Doğru: Önce blok olarak dizilimleri, sonra blok içi sıralamayı almak.
  • Neden yanlış: Konumların tamamı hesaba katılmamış olur.

İstersen bu sorunun blok yöntemiyle daha kısa çözümünü de gösterebilirim. Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

3

7. sorunun çözümü

Soru:
4 doktor, 3 mühendis ve 2 öğretmen yan yana duran 9 farklı sandalyeye, mühendislerin tümü bir arada olmamak üzere, kaç farklı şekilde oturabilirler?

:brain: Çözüm adımları:

Adım 1 — Toplam permütasyon sayısını hesapla
9 kişi ve 9 sandalye olduğu için toplam oturma düzeni:

9! = 362{,}880

Adım 2 — Mühendislerin tamamı yan yana oturuyorsa permütasyon sayısı
Mühendisleri tek bir grup olarak düşünürsek:

  • Mühendisler grubunu 1 birim olarak alalım (İçlerinde 3 mühendis var, kendi aralarında da permütasyon var)
  • Böylece kişi sayımız: 4 doktor + 1 mühendis grubu + 2 öğretmen = 7 birim olur.

7 birimin permütasyonu:

7! = 5{,}040

İçerideki mühendislerin kendi içinde dizilişleri:

3! = 6

Toplam mühendislerin yan yana olduğu düzen sayısı:

7! \times 3! = 5{,}040 \times 6 = 30{,}240

Adım 3 — Mühendislerin tümü yan yana olmama durumu
Toplam permütasyon - mühendislerin yan yana olduğu permütasyon:

9! - (7! \times 3!) = 362{,}880 - 30{,}240 = 332{,}640

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: 332.640 farklı şekilde oturabilirler.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: Temel Kavramlar:

  • Permütasyon: Farklı sıra düzenlemelerinin sayısıdır.
  • Blok yöntemi: Birden fazla elemanın yan yana gelmesi durumunda o elemanları tek bir blok olarak kabul edip permütasyon hesaplama yöntemi.
  • Tümünün yan yana olmaması: Toplamdan yan yana olanların çıkarılmasıyla bulunur.

:warning: Sık yapılan hata:
Mühendislerin hepsinin yan yana olmaması koşulu sorulduğunda sadece mühendislerin yan yana olmama durumunu düşünmek yeterli değildir; mutlaka toplam permütasyondan yan yana olanların çıkarılması gerekir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu tür permütasyon sorularından bir başka örnek ister misin?