!17674670212815911930721074997736|373x500 [Link Silindi]
7. Sorunun Çözümü: a·b·c Çarpımı Kaçtır?
Önemli Noktalar
- Verilenler:
- 6·a·b = 48
- 6·a·c = 72
- b·c·6 = 96
- Amaç: a·b·c çarpımını bulmak.
Çözüm Adımları
Verilenleri detaylandıralım:
-
6·a·b = 48 ise,
→ a·b = 48 ÷ 6 = 8 -
6·a·c = 72 ise,
→ a·c = 72 ÷ 6 = 12 -
b·c·6 = 96 ise,
→ b·c = 96 ÷ 6 = 16
Şimdi elimizde şu üç eşitlik var:
- a·b = 8
- a·c = 12
- b·c = 16
Amaç, a·b·c’yi bulmak.
Bunun için yukarıdaki çarpımları kullanalım.
(a·b) · (a·c) · (b·c) = 8 · 12 · 16
Açalım:
(a·b)·(a·c)·(b·c) = (a²)(b²)(c²) = (a·b·c)²
Yani:
[
(a·b·c)^2 = 8 \times 12 \times 16 = 1536
]
Buradan:
[
a·b·c = \sqrt{1536}
]
1536’yı karekök dışında sadeleştirelim:
[
1536 = 256 \times 6
]
Çünkü 256 = 16², yani tam kare.
O halde:
[
a·b·c = \sqrt{256 \times 6} = \sqrt{256} \times \sqrt{6} = 16 \sqrt{6}
]
Yaklaşık değer:
[
16 \times 2.449 = 39.18
]
Ama verilen şıklar arasında tam sayı var, bu tam sayı değeri arıyoruz. Yukarıdaki işlem hata oluşturabilir, bunun yerine başka yöntem deneyelim:
Alternatif Yöntem (Doğru Sonuca Ulaşmak İçin):
a·b = 8 → b = 8/a
a·c = 12 → c = 12/a
b·c = 16 yerine bu değerleri koyarsak:
[
b·c = (8/a) \times (12/a) = 96 / a^{2}
]
Ama elimizde b·c = 16 olduğuna göre:
[
96 / a^{2} = 16 \implies a^{2} = 96/16 = 6 \implies a = \sqrt{6}
]
Buna göre:
[
a = \sqrt{6} \approx 2.449
]
[
b = \frac{8}{a} = \frac{8}{2.449} \approx 3.265
]
[
c = \frac{12}{a} = \frac{12}{2.449} \approx 4.898
]
Son olarak:
[
a·b·c = \sqrt{6} \times 3.265 \times 4.898 \approx \sqrt{6} \times 16 \approx 2.449 \times 16 = 39.18
]
Ama şıklarda 39.18 yok; bu durum sorunun bağlantılı birimlerle tam sayı çözüm olmadığını gösteriyor. Ancak sorunun üstünde bazı hesaplamalar var ve doğru cevap D şıkkı: 576 olarak işaretlenmiş. Bu değer nasıl elde edilir?
Son Kontrol:
Çarpımları direkt çarpalım:
6·a·b = 48 → a·b = 8
6·a·c = 72 → a·c = 12
b·c·6 = 96 → b·c = 16
Şimdi:
(a·b) · (a·c) · (b·c) = (a·b·c)^2 = 8 × 12 × 16 = 1536
Buradan:
a·b·c = √1536 ≈ 39.18
Sorunun çözümünde notlarda 576 sonucu alınmış; bu, a·b·c değil, toplamda ne ise ondan farklı olabilir.
Alternatif olarak, yazılı hesaplamaya göre:
6 × 8 × 12 = 576
Ama buradaki yanlışlık, 6’yı 3 defa çarpmak yerine sadece bir defa çarpmak.
Sonuç:
Doğru a·b·c çarpımı √1536 yani yaklaşık 39.18’dir. Ancak şıklarda bu yok. Sorunun çözümünde büyük olasılıkla farklı bir işlem (örneğin yanlışlıkla tüm çarpımların 6’sı üç kez alınmış) yapılmış.
Özet
| Verilenler | Bulunanlar |
|---|---|
| 6ab = 48 → ab=8 | a = √6 ≈ 2.45 |
| 6ac = 72 → ac=12 | b ≈ 3.27 |
| 6bc = 96 → bc=16 | c ≈ 4.9 |
| a·b·c ≈ 39.18 |
Sonraki Adımlar
Bu sorunun tam ve net çözümünü detaylandırmamı ister misiniz? Ya da yazılı çözümün neden farklı olduğunu açıklayayım mı?
@ guler_malcok
Soru 7 ve Soru 8 Çözümleri
Temel Bilgiler
- Doğal sayılarda çarpım ilişkileri için (abc)^2=(ab)\,(ac)\,(bc) bağıntısı kullanılır.
- Bir sayıyı maksimum yapmak için diğer sayıların toplamı mümkün olduğunca küçük seçilir.
- Doğal sayılar en az 1 olabilir; “43’ten büyük” şartı en küçük 44 değerini verir.
Doğrudan Cevap
- Soru 7: a\cdot b=48,\;a\cdot c=72,\;b\cdot c=96 olduğuna göre
(a\,b\,c)^2=48\cdot72\cdot96\quad\Longrightarrow\quad a\,b\,c=576.
- Soru 8: Beş doğal sayının toplamı 190, bunlardan üçü 43’ten büyük. En büyük sayıyı maksimize etmek için diğer dört sayıyı 1,1,44,44 aldığımızda
\max =190-(1+1+44+44)=100.
İçindekiler
Soru 7 Çözümü
Verilenler:
a\,b=48,\quad a\,c=72,\quad b\,c=96.
Bu üç ürünün çarpımı
(ab)\,(ac)\,(bc)=48\cdot72\cdot96
ancak sol tarafta
(ab)(ac)(bc)=(a\,b\,c)^2.
Böylece
(a\,b\,c)^2=48\cdot72\cdot96=2^{12}\cdot3^4\quad\Longrightarrow\quad
a\,b\,c=2^6\cdot3^2=64\cdot9=576.
Soru 8 Çözümü
Beş doğal sayı x_1\le x_2\le x_3\le x_4\le x_5 ve
- Toplamları x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=190,
- Üç tanesi 43’ten büyük: yani x_3,x_4,x_5>43.
En büyük $x_5$’i maksimize etmek için toplamı sabit tutup diğerlerini en küçük seçeriz:
- x_1=x_2=1 (en küçük doğal sayı),
- x_3=x_4=44 (43’ten büyük en küçük değer),
- Geriye x_5=190-(1+1+44+44)=100.
Sonuç: En büyük sayı en fazla 100 olabilir.
Özet Tablosu
| Soru | Verilen | Sonuç |
|---|---|---|
| 7 | a\,b=48,\;a\,c=72,\;b\,c=96 | 576 |
| 8 | Beş sayı toplamı 190, üçü > 43 | 100 |
SSS
- Soru 7’de (abc)^2=(ab)(ac)(bc) bağıntısını neden kullandık?
- Doğal sayılarda “en büyük değeri bulma” stratejisi nedir?
- Soru 8’de diğer dört sayıyı neden 1,1,44,44 seçtik?
- Eğer “en az üçü 43’ten büyük” deseydi çözüm nasıl değişirdi?
Bu çözümler yeterli oldu mu? 3 alıştırma sorusu ister misiniz?
@guler_malcok