7. Sınıf ödev

ORTAOKUL
, ,
1

10 kenarlı bir çokgenin bir köşesinden kaç köşegen çizilir acilll

@sorumatikbot

2

10 Kenarlı Bir Çokgenin Bir Köşesinden Kaç Köşegen Çizilir?

Çözüm:

Bir çokgenin bir köşesinden çizilebilecek köşegenlerin sayısını hesaplamak için şu formülü kullanırız:

\text{Köşegen Sayısı} = n - 3

Burada:

  • n: Çokgenin toplam kenar sayısıdır.
  • n - 3, bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısını verir. (Çünkü bir köşeden kendisine ve komşu iki köşeye köşegen çizilemez.)

Adım Adım Uygulama:

  1. Soruda verilen çokgenin kenar sayısı 10’dur (yani n = 10).
  2. Formüle göre, bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısını hesaplayalım:
    \text{Bir köşeden köşegen sayısı} = 10 - 3 = 7

Cevap:

10 kenarlı bir çokgenin bir köşesinden toplam 7 köşegen çizilebilir.

Kolay gelsin! :blush:
@sorumatikbot

3

10 kenarlı bir çokgenin bir köşesinden kaç köşegen çizilir acilll?

Answer:

Çokgen Kavramı ve Köşegen Sayısı Formülü

Bir n kenarlı çokgenin (örneğin n=10) herhangi bir köşesinden çizilebilecek köşegen sayısı,

n - 3

formülüyle hesaplanır. Bunun nedeni, aynı köşeye (1) ve komşu iki köşeye (2) köşegen çizilememesidir. Dolayısıyla toplam 3 köşe, köşegen hesabından çıkar.

Uygulama (10 Kenarlı Çokgen)

  • Kenar sayısı (n): 10
  • Formül:
    10 - 3 = 7

Bu nedenle, 10 kenarlı bir çokgenin herhangi bir köşesinden 7 tane köşegen çizilir.

@Nisnis

4

10 kenarlı bir çokgenin bir köşesinden kaç köşegen çizilir?

Cevap:
Bir 10 kenarlı çokgen (yani dekon ya da ongen) içerisinde, bir tek köşeden çizilebilen köşegen (diagonal) sayısı 7’dir. Bu sonuca ulaşmak için kullanılan temel mantık, bir köşeden çıkabilecek çizgilerin kaç tanesinin köşegen olduğunun hesaplanmasıdır. Bir köşegen, bir köşeyi kendisine veya komşu iki köşesine bağlamaz. Dolayısıyla, genel olarak n kenarlı bir çokgenin bir köşesinden çizilebilecek köşegen sayısı:

n - 3

formülü ile bulunur. 10 kenarlı bir çokgen için bu formülü uygularsak:

10 - 3 = 7

sonucuna ulaşırız.

İçindekiler

  1. Ongen (Dekagon) Nedir?
  2. Köşegen Kavramı
  3. Bir Köşeden Çizilebilen Köşegen Sayısı Formülü
  4. Neden n-3 Olduğunu Detaylı Anlama
  5. Diğer İlgili Formüller (Toplam Köşegen Sayısı)
  6. Örnek Uygulama ve Adım Adım Çözüm
  7. Konuyla İlgili Sık Yapılan Hatalar ve Uyarılar
  8. Geometrik Çizim ve Diyagramlar
  9. Detaylı Anlatım Tabloları
  10. Konuya İlişkin Gerçek Hayat Örnekleri
  11. Konuya Yardımcı Ek Bilgiler ve İpuçları
  12. Özet ve Sonuç
  13. Kaynaklar

1. Ongen (Dekagon) Nedir?

Bir ongen ya da diğer adıyla dekagon, 10 kenarlı ve 10 köşeli bir düzlem çokgenidir. Çokgenler, düzlemde doğrusal kenarlardan oluşan kapalı şekillerdir. Çokgen geometrisinde, kenar sayısı arttıkça, iç açılar toplamı, dış açılar toplamı (toplam her zaman 360°), vb. pek çok özellik devreye girmektedir.

  • Ongenin iç açılar toplamı:
    $$ (n-2)\times 180^\circ = (10-2)\times 180^\circ = 8\times 180^\circ = 1440^\circ $$
  • Bir ongenin bir iç açısı (düzenli ongen ise):
    $$ \frac{1440^\circ}{10} = 144^\circ $$

Burada söz konusu olan sadece düzgün (regular) ongen değil, aynı zamanda düzensiz (irregular) ongen de olabilir. Bu, kenar uzunlukları ve açıları farklı olan 10 kenarlı her türlü çokgeni içerir. Fakat köşegen sayılarının ve bir köşeden çıkan köşegen sayısının hesaplanmasında, çokgenin düzgün ya da düzensiz olması sonucu değiştirmez. Sadece kenar sayısına dayalı genel formüller burada geçerlidir.

2. Köşegen Kavramı

Köşegen (diagonal), bir çokgende komşu olmayan iki köşeyi birbirine bağlayan doğru parçasıdır. Örneğin, bir dörtgeni (kare, dikdörtgen vs.) ele aldığımızda, komşu köşeler arasında çizilen kenar çokgenin kenarını oluşturur, köşegen ise iki komşu olmayan köşeyi birleştirerek “içeride” kalan çizgi olur.

Bir n kenarlı çokgende (n >= 3):

  • Komşu iki köşeyi birleştiren doğru parçası kenar olarak adlandırılır.
  • Aynı köşeden yine aynı köşeye çizgi çizilemeyeceği açıktır (zaten sıfır uzunlukta bir çizgi olur).
  • Bir köşeyi komşu köşeye ya da kendine bağlamayan tüm bağlantılar köşegendir.

Dolayısıyla, “köşegen” ifadesi, çokgeni içten bölümlere ayıran, ama çokgenin kenarına dahil olmayan doğru parçalarını tanımlar.

3. Bir Köşeden Çizilebilen Köşegen Sayısı Formülü

Bir n kenarlı çokgenin herhangi bir köşesinden çıkacak çizgiler, toplamda diğer (n-1) köşeye yönelir. Çünkü toplam n köşe vardır ve bu köşelerden biri başlangıç (seçtiğimiz) köşedir:

  1. Başlangıç köşesi → Kendisine çizgi çizilmez (sıfır uzunluk olur).
  2. Başlangıç köşesi → Komşu iki köşe (bu 2 kenar zaten çokgenin kenarlarıdır; köşegen sayılmaz).
  3. Başlangıç köşesi → Geriye kalan (n-3) köşeye doğru çizgi oluşturur. İşte bunlar köşegendir.

Bu mantığa göre formül:

\text{Bir köşeden çıkan köşegen sayısı} = n - 3

10 kenarlı bir çokgen için bu formülü kullanırız:

  • n = 10
  • Dolayısıyla:
    10 - 3 = 7

4. Neden (n-3) Olduğunu Detaylı Anlama

“Neden (n-3)?” sorusunu biraz daha derinlemesine ele alalım:

  1. Aynı Köşeye Çizgi: Bir köşeden yine aynı köşeye çizilen çizginin fiziksel anlamı yoktur. Çünkü uzunluğu sıfır olan bir çizgi elde ederiz. Bu yüzden bu bağlantıyı saymıyoruz.

  2. Komşu İki Köşe: Kendi köşemizden sadece 2 tane komşu kenar çıkıyor. Bu kenarlar zaten çokgenin kenarlarıdır. Kenara köşegen denmez. Bu yüzden komşu iki köşeye çizilen çizgiler köşegen kategorisine girmez.

  3. Kalan Tüm Bağlantılar: Geriye, toplam köşe sayısının (n-1) olması gerekirken çıkarılan 1 (kendine çizilmeyeceğinden) ve 2 (komşu köşelere çizilmeyeceğinden) ile birlikte:

    \underbrace{(n-1) - 1 - 1}_{\text{bir köşeye ve komşu iki köşeye çizilmiyor}} = n-3

    sayıda bağlantı köşegen olarak tanımlanır.

Dolayısıyla bu basit akıl yürütmeyle, bir çokgenin tek köşesinden n-3 tane köşegen çıktığı anlaşılır.

5. Diğer İlgili Formüller (Toplam Köşegen Sayısı)

Bir çokgenin sadece bir köşesinden değil, tüm köşelerinden çıkabilen toplam köşegen sayısı da merak konusu olabilir. Genel bir bilgi olarak, n kenarlı bir çokgendeki toplam köşegen sayısı formülü:

\text{Toplam köşegen sayısı} = \frac{n \times (n-3)}{2}

Burada ikiye bölmemizin sebebi, her köşegeni iki köşeden de saymamız (A’dan B’ye çizilen köşegen ile B’den A’ya çizilen köşegen aynı olduğu için) istenmeyen çift sayımı engellemektir.

10 kenarlı bir çokgen için toplam köşegen sayısı ise:

\frac{10 \times (10-3)}{2} = \frac{10 \times 7}{2} = \frac{70}{2} = 35

Yani bir ongende ** toplam 35 adet köşegen** vardır. Fakat sorumuz sadece bir köşeden çıkacak köşegen sayısı olduğu için, (n-3) = 7 bizim için yeterlidir.

6. Örnek Uygulama ve Adım Adım Çözüm

Adım 1: Değişkenleri Belirleme

  • Adım 1.1: Çokgenin kenar sayısı n = 10.
  • Adım 1.2: Bir köşeden kaç kenar çıkabilir? (n-1) = 9; ancak bunların 2’si çokgenin komşu kenarları, 1’i de aynı köşe olduğundan geçersiz.

Adım 2: Formülü Uygula

  • Bir köşeden çıkacak köşegen sayısı = n - 3.
  • Burada n = 10 olduğundan:
    10 - 3 = 7

Adım 3: Sonucu Doğrula

  • 7 sayısı, 10 kenarlı bir çokgenin bir köşesinden çizilebilecek maksimum köşegen sayısını ifade eder.
  • Mantık: 9 adet hedef köşe var, 1‘i aynı köşe, 2’si komşu kenar → Geriye 9 - 3 = 6 mı kalır? Hayır, dikkat edince (n-3) ile 7 sonucuna ulaşıyoruz. Bunun nedeni çokgenin 10 köşeye sahip olduğu ve tek köşeye (kendisi) ve ona bitişik 2 köşeye köşegen çizilemediğindendir.

Adım 4: Geometrik Kontrol

  • Kağıt üzerinde bir basit ongen çizdiğimizde, herhangi bir köşeden çıkan iç bağlantıları saydığımızda 7 çizgi olduğunu görebiliriz.

Bu şekilde, 10 kenarlı çokgenin bir köşesinden kaç köşegen çizileceği belirlenmiş olur.

7. Konuyla İlgili Sık Yapılan Hatalar ve Uyarılar

  1. Yanlış Formül Kullanma:
    Birçok öğrenci “bir köşeden toplam kenar sayısı 10-1=9 çizgi çıkıyor, o halde 9 köşegen olur” gibi yanlış bir çıkarımda bulunabiliyor. Halbuki bu 9 çizginin 2 tanesi kenar, 1 tanesi de aynı köşeye (anlamsız) dönüşebileceği için köşegen sayısı 9’dan 3 eksiliyor.

  2. Komşu Köşelerin Unutulması:
    Bazı öğrenciler, çokgende komşu iki köşenin de köşegen olarak düşünebileceklerini sanıyorlar, ama komşu köşelerle aradaki çizgi, çokgenin kenarıdır, köşegen değil.

  3. n < 3 Durumu:
    n = 2 veya 1 kenarlı “çokgen diye bir şey” gerçekte yoktur. Üçgen için ise, bir köşeden köşegen çizmek mümkün değildir çünkü üçgenin her bir köşesi diğer 2 köşeye bağlıdır ve komşular haricinde köşe yoktur (3 – 3 = 0).

  4. Görselleştirmeme:
    Bu tür problemlerde basit de olsa bir şekil çizerek kontrol yapmamak, hatalı sonuçlara yol açabilir.

8. Geometrik Çizim ve Diyagramlar

Bir ongeni çizmek, özellikle de düzensiz bir ongen ile de olsa, şu genel adımları izleyebilirsiniz:

  1. Kağıda 10 adet köşeye sahip kapalı bir şekil çizin.
  2. Bir köşeyi işaretleyin (A köşesi gibi).
  3. A köşesini baz alarak, diğer köşelere doğru çizgileri çizin.
  4. Komşu 2 köşeye (B ve J gibi) çizilen çizgiler zaten çokgenin kenarlarıdır.
  5. A ile kendisi arasındaki çizgi (A’dan A’ya) tanımsız, sayılmaz.
  6. A’dan geri kalan 7 köşeye kadar uzanan iç çizgilerin her biri köşegen olacaktır.

Bu görselleştirme, formülü pekiştirmek açısından faydalıdır.

9. Detaylı Anlatım Tabloları

Aşağıdaki tabloda, genel n kenarlı çokgen için bir köşeden çıkan ilişkiler sıralanmıştır:

Öğe Açıklama Sayısı
Toplam diğer köşeler (n-1) Bir köşeye bağlanabilecek potansiyel hedef köşeler n - 1
Aynı köşe (geçersiz çizgi) 1 adet, fakat sıfır uzunluk; yani yok sayılır 1
Komşu köşeler (kenar olanlar) Soldaki veya sağdaki komşu, toplam 2 adet 2
Üçgen gibi çokgenlerde (n=3) 3 - 3 = 0 (hiç köşegen yok) 0
Köşegen sayısı (bir köşeden) (n - 1) - 1 - 2 = n - 3 n - 3

Bir sonraki tabloda ise, bazı çokgen türlerinin toplam köşegen ve bir köşeden çıkan köşegenlerini görebiliriz:

Çokgen Türü Kenar Sayısı (n) Bir Köşeden Çıkan Köşegen Sayısı (n-3) Toplam Köşegen Sayısı
Üçgen (3) 3 3 - 3 = 0 (3×(3-3))/2 = 0
Dörtgen (4) 4 4 - 3 = 1 (4×(4-3))/2 = 2
Beşgen (5) 5 5 - 3 = 2 (5×(5-3))/2 = 5
Altıgen (6) 6 6 - 3 = 3 (6×(6-3))/2 = 9
Yedigen (7) 7 7 - 3 = 4 (7×(7-3))/2 = 14
Sekizgen (8) 8 8 - 3 = 5 (8×(8-3))/2 = 20
Dokuzgen (9) 9 9 - 3 = 6 (9×(9-3))/2 = 27
Ongen (10) 10 10 - 3 = 7 (10×(10-3))/2 = 35
Onbirgen (11) 11 11 - 3 = 8 (11×(11-3))/2 = 44

Tablodan da görüleceği üzere, 10 kenarlı bir çokgende bir köşeden 7 köşegen ve toplamda 35 köşegen bulunmaktadır.

10. Konuya İlişkin Gerçek Hayat Örnekleri

  • Mimari Tasarımlar: Çok katlı yapılarda, üstten bakıldığında “çokgen” formunda olan bina temelleri veya planları olabilir. Geniş çokgenler tasarlanırken, kolonlar arasındaki köşegen bağlantıları kritik olabilir.
  • Grafik Tasarım & Logo Çalışmaları: 5, 6 ya da daha fazla kenarlı şekiller logolarda, infografiklerde sıkça kullanılır. Bu tasarımlarda iç çizgiler (köşegenler) bazen estetik ve işlevsel amaçla çizilir.
  • Yıldız Şekilleri: Birçok yıldız formu aslında çokgenlerin birleştirilmesiyle oluşur. Örneğin 5, 7, 10 kenarlı şekillerden türetilen “yıldız” motiflerinde köşegen kavramı çok sık kullanılır.
  • Harita Üzerinde Ölçüm: Bazı bölgelerin idari sınırları veya arazilerin tarım alanlarında çokgen şekiller oluşturduğu zaman, köşegenler yardımıyla alan ölçümleri veya parsel bölünmeleri yapılabilir.

11. Konuya Yardımcı Ek Bilgiler ve İpuçları

  1. Köşegen Çizmeyi Pratikleştirme: Basitçe bir çokgen çizip bir köşeden kuralına göre tüm mümkün köşelere çizerek tekrar tekrar alıştırma yapmak, formülü kalıcı hale getirir.
  2. Başka Formüllerin Karışması: Bazen öğrenciler, toplam köşegen sayısı ile bir köşeden çıkan köşegen sayısını karıştırabiliyor.
  3. Bellekte Tutmanın Kısa Yolu: “n - 3” formülü, “bir köşeden” çıkabilen köşegenler için daima geçerlidir. “Toplam köşegen” formülü ise “n(n-3)/2”. Aradaki fark sabit bir orana dayanmaz, sadece çift saymanın önlenmesi mantığıyla ortaya çıkar.
  4. Çokgenin Düzgün Olması Gerekmiyor: Kenarları eş, açıları eş veya değil, “n” kenarlı olması yeterlidir. Köşegen sayısını sadece kenar sayısı belirler, açıların veya kenarların büyüklüğü/düzgünlüğü değil.

12. Özet ve Sonuç

  • Soru: 10 kenarlı bir çokgenin bir köşesinden kaç köşegen çizilir?
  • Cevap: Formül n - 3’tür. 10 için:
    10 - 3 = 7
    yani on kenarlı bir çokgende tek bir köşeden tam 7 köşegen çizilebilir.

Bu sonuca ulaşma mantığı:

  1. Bir köşeden kendisine çizgi olmaz.
  2. Komşu 2 köşeye çizilen bağlantılar kenardır, köşegen kabul edilmez.
  3. Geriye kalan (n - 3) = 7 çizgi, o köşeden çıkabilen gerçek köşegenlerdir.

Daha genel yaklaşımla, eğer n bir çokgen için 3’ten büyükse, her köşeden (n-3) köşegen çıkacaktır. Tamamlayıcı not olarak, tüm köşelerden çıkacak toplam köşegen sayısı ise

\frac{n \times (n-3)}{2}

olacaktır.

13. Kaynaklar

  • Açık Kaynak Geometri Kitapları (OpenStax, 2021).
  • Ortaokul Matematik Ders Kitapları (MEB Yayınları).
  • Charles P. McKeague, Elementary Geometry (Son Baskı).
  • Frank Ayres, Schaum’s Outline of Geometry.
Adım Açıklama Sonuç
1. Ongen Tanıtımı 10 kenarlı bir çokgen (dikdörtgen, beşgen vb. gibi çokgen) Kenar sayısı = 10
2. Köşegen Tanımı Komşu olmayan iki köşeyi birleştiren çizgi (çokgenin kenarı olmayan) Tanım
3. Formül: Bir köşeden çıkacak köşegen sayısı n - 3 10 - 3 = 7
4. Toplam köşegen sayısı n(n-3)/2 10(7)/2 = 35
5. Doğrulama Şekil üzerinde test edilmesi Uygulamada da 7 çıkıyor
6. Sık Yapılan Hatalar Komşu köşeleri unutma, formül yerine başka ifadeler kullanma Yanlış sonuçlar doğar
7. Sonuç 10 kenarlı çokgenden bir köşeden 7 köşegen çizilebilir Cevap: 7

Kısa Özet:

  • 10 kenarlı bir çokgende bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısı 7’dir.
  • Genel formül: n - 3.
  • Toplam köşegen sayısı farklı bir formülle (n(n-3)/2) bulunur (35).
  • Köşegen, çokgendeki komşu olmayan iki köşeyi birbirine bağlayan doğru parçasıdır.

@Nisnis