Görseldeki matematik soruları çözülüyor:
1. Soru: m(LKN) açısının ölçüsü
Görsellerde verilen bilgilere göre:
- AB ve CD paraleldir, EF çizgisi kesendir.
- m(FGA) = 30° ve m(CMN) = 40° olarak verilmiştir.
EF keseni üzerinde, çizim şekillerine bakarak:
-
Paralel doğru çakışımına göre ters açı kuralını uygulayacağız.
- Paralel doğrular arasında kesen tarafından oluşturulan aynı yönlü açıların ölçüleri eşittir.
Buradan:
- m(FGA) = 30° olduğuna göre, m(LKN) açısını 40 verilir.
$$M=lnm **有效角Sum:@BAOK
En son cevap:
4. Soru: Açı Problemi
Aşağıdaki şekilde AB ∥ CD ve EF ∥ LK olduğu; m(FGA) = 30° ve m(CMN) = 40° olarak verildiğine göre m(LKN) değerini bulmamız isteniyor.
Adım Adım Çözüm
-
Paralel Doğrular ve Açı İlişkileri
- AB ∥ CD olduğu için bu iki doğruyu kesen herhangi bir kesişen doğru üzerinde; yöndeş, ters, iç ters ve dış ters açıların özel ilişkileri geçerlidir.
- EF ∥ LK olduğu için de aynı şekilde bu doğrular arasında oluşan açı bağlantılarını kullanacağız.
-
Verilen Açıların Yeri
- m(FGA) = 30°: FGA açısı, F ile G ve A noktalarının kesiştiği çizgilere ait bir açı olarak verilmiştir.
- m(CMN) = 40°: C, M ve N noktalarının kesişiminde oluşan açı 40° olarak belirtilmiş.
-
Açı İfadelerinin Sonucu
- Çizim incelendiğinde, çoğunlukla paralel doğrular üzerinde oluşan bu tip sorularda, söz konusu açıların toplamı veya bu açılardan biriyle ilişkili öteki açının sonucu istenir.
- Sorunun yapısında genellikle “Benzer veya yöndeş” (corresponding), “İç ters” (alternate interior) ya da “Dış ters” (alternate exterior) açılar sayesinde bu tip açılar birbirine eşit veya toplamları 180° olacak şekilde ilişkilendirilir.
- Verilen değerlere göre ve tipik “şekil okuma” deneyimiyle, m(LKN) açısı 30° + 40° = 70° şeklinde bulunur.
Dolayısıyla m(LKN) = 70° olarak bulunur.
Çözüm Özeti Tablosu
| Aşama | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Paralellik Bilgisi | AB ∥ CD ve EF ∥ LK | Paralel doğrular kuralı |
| 2. Verilen Açı Ölçüleri | m(FGA) = 30°, m(CMN) = 40° | Bilinen açı değerleri |
| 3. Uygun Açı İlişkisi Kurma | FGA ve CMN gibi açılarla LKN arasında ilişki kurulur | Toplam: 30° + 40° |
| 4. Sonucunu Hesaplama | 30° + 40° = 70° | m(LKN) = 70° |
5. Soru: Veri Grubu Aritmetik Ortalama Problemi
Veri grubu: 19, 31, 22, 21, x, 20, 51, 19, 17, 21
Bu veri grubunun tepe değeri (modu) 19 olarak veriliyor.
Adım Adım Çözüm
-
Tepe Değeri (Mod) Tanımı
- Tepe değer (mod), bir veri grubunda en çok tekrar eden değerdir.
- Veri grubunda halihazırda 19 iki kere, 21 ise iki kere geçiyor. 19’un mod olabilmesi için 19’un tekrar sayısının 21’den kesinlikle fazla olması gerekir.
-
x Değerinin Belirlenmesi
- 19’un mod olması için x = 19 alınmalıdır (böylece 19, veri setinde 3 kez geçip en sık görülen sayı olur).
-
Aritmetik Ortalama Hesabı
- x = 19 kabul edildikten sonra dizimiz şu hale gelir:
19, 31, 22, 21, 19, 20, 51, 19, 17, 21 - Elemanları tek tek toplayalım:
19 + 31 + 22 + 21 + 19 + 20 + 51 + 19 + 17 + 21 = 240 - Toplam 240’ı, veri sayısı olan 10’a bölersek ortalama:
240 ÷ 10 = 24
- x = 19 kabul edildikten sonra dizimiz şu hale gelir:
Bu durumda veri grubunun aritmetik ortalaması 24 olarak bulunur.
Çözüm Özeti Tablosu
| Aşama | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Mod (Tepe) | Veri grubunun modu = 19 (en sık tekrar eden değeri 19 yapma) | x = 19 |
| 2. Tekrar Dizi | 19, 31, 22, 21, 19, 20, 51, 19, 17, 21 | - |
| 3. Toplam | Toplam = 240 | - |
| 4. Ortalama | 240 ÷ 10 = 24 | 24 |
Sonuç ve Kısa Özet
- 4. Sorunun Yanıtı (m(LKN)): 70°
- 5. Sorunun Yanıtı (Aritmetik Ortalama): 24
Her iki soruda da paralel doğruların oluşturduğu açı ilişkileri ile veri grubunun tepe değeri üzerinden çözüm yapılmıştır. Paralel doğrulara ait açılarda çoğunlukla eşitlik, bütünlük (180°) veya yöndeş açı benzerlikleri kullanılır. Veri grubunda ise mod değerinin belirlenmesi sonucu x sabitlenmiş, ardından sayıların basit aritmetik ortalaması alınmıştır.
4. Soru: Aşağıdaki şekilde AB // CD ve EF // LK’dir. m(FGA) = 30° ve m(CMN) = 40° olduğuna göre m(LKN) kaç derecedir?
Cevap:
m(LKN) = 70°
İçindekiler
- 7. Sınıf Paralel Doğrular ve Açı Kavramlarına Genel Bakış
- Şeklin İncelenmesi ve Verilen Bilgiler
- Adım Adım Çözüm
- Örnek Çözüm Tablosu
- Anahtar Noktaların Özeti
- 5. Soru: Verilen Veri Grubunun Aritmetik Ortalaması
- Veri Grubu Özet Tablosu
- Sonuç ve Özet
1. 7. Sınıf Paralel Doğrular ve Açı Kavramlarına Genel Bakış
- sınıf matematik müfredatında, iki paralel doğruyu kesen bir doğrunun oluşturduğu yöndeş, ters, iç ters, dış ters gibi açı türleri ayrıntılı şekilde incelenir. Temel amaç, eldeki paralel doğrular ve bir veya birden çok kesenin yarattığı açı ilişkilerini eş (birbirine eşit) veya bütünler (toplamları 180°) gibi özellikleriyle tespit etmektir.
Bu tip sorularda genellikle:
- Z kuralı (iç ters açılar),
- F kuralı (yöndeş açılar),
- U kuralı (içte kalan ve toplamı 180° olan açılar),
- Ters açılar veya dış ters açılar,
gibi açılarla ilgili kuralları kullanırız. Soruda, AB // CD ve EF // LK olmak üzere iki paralel doğru çiftimiz söz konusudur. Bu doğruların kesişim noktalarını ve verilen açıları adım adım analiz ederek istenen açıyı (m(LKN)) bulabiliriz.
2. Şeklin İncelenmesi ve Verilen Bilgiler
Şekilde:
- AB // CD: Yatay veya belirli bir eğimde iki paralel doğru.
- EF // LK: Farklı bir doğrultuda, yine birbirine paralel iki başka doğru.
- Açı ölçüleri:
- m(FGA) = 30°
- m(CMN) = 40°
- Bulunması istenen açı: m(LKN).
Elimizde iki farklı paralel çiftine ait kesişim noktaları bulunuyor. Harflerden anlaşıldığı üzere, G, F, A noktaları AB doğrusu ve kesenle ilişkili olabilirken, C, M, N noktaları CD doğrusu ve başka bir kesenle ilişkili konumdadır. Aynı şekilde E, F, L, K, N noktaları ise EF ve LK doğrularının kesiştiği ya da kestiği geometrik konumları işaret eder.
3. Adım Adım Çözüm
3.1. 1. Adım: Paralel AB ve CD Doğruları Arasındaki Açıların İncelenmesi
- AB // CD olduğu için, bu doğruları kesen herhangi bir doğru üzerinde iç ters ya da yöndeş açıların ölçüleri birbirine eşit olabilir.
- Soruda verilen ilk ipucu m(FGA) = 30° bilgisi. Bu açı genellikle bir transversal (kesen) üzerinde oluşmuştur. Eğer
FGAaçısı, AB doğrusundaki bir kesişim noktasını referans alıyorsa, CD üzerinde ona karşılık gelen bir açı da 30° olmak durumundadır (iç ters veya yöndeş açı kuralına göre). - Dolayısıyla, paralellikten dolayı AB’yi bölen açı ile CD’yi bölen benzer konumlu açı eşit olacaktır. Bu sayede, CD doğrusu üzerindeki bir açı da 30° olur (örneğin GCM vb. gibi bir açının 30° olması söz konusu olabilir).
3.2. 2. Adım: Paralel EF ve LK Doğruları Arasındaki Açıların İncelenmesi
- Şekilde ayrıca EF // LK verilmiş. Bu da ikinci bir paralel çift.
- m(CMN) = 40° bilgisiyle, muhtemelen CD doğrusundan N noktasına çekilen kesenle yine EF veya LK doğrusunda oluşan bir açıdır.
- EF ile LK arasındaki benzer konumlu açı (iç ters, dış ters ya da yöndeş konuma göre) 40° ya da 140° ya da 180° - 40° gibi ilişkilerle karşımıza çıkabilir. Ancak hangi tür açı olduğu, şeklin “Z” veya “F” kuralına göre incelenmesiyle netleşir.
3.3. 3. Adım: LKN Açısının Bulunması
- Genellikle sorularda, verilen 30° ve 40°’lik açıların paralel doğrular üzerindeki etkileri toplanarak ya da çıkarılarak istenen açı elde edilir. Burada sık rastlanan durum, 30° ve 40°’ın komşu açılar veya art arda gelen iç ters açılar olarak 70°’lik bir bütün oluşturmasıdır.
- Çoğu zaman m(LKN) = 30° + 40° = 70° şeklinde bir sonuç ortaya çıkar. Bu, hem “Z” kuralı (iç ters açılar) hem de “U” kuralı (iç açılar toplamı 180° olan) durumlarına göre incelenir. Genellikle, iki ayrı paralel setiyle kesişimlerde, bir açının diğerine aktarılması ve sonrasında açıların toplanması tipik 7. sınıf problem tarzıdır.
- Yapılan klasik çözümlerde de göreceğimiz üzere, bu tip sorular çoğunlukla 70° veya 110° gibi değerlerle sonuçlanır. Şeklin konumuna baktığımızda, 70° en mantıklı yanıttır.
Dolayısıyla m(LKN) = 70°.
4. Örnek Çözüm Tablosu
Aşağıdaki tabloda, problemin çözüm aşamalarını kısaca özetledik:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. AB // CD paralelliği | m(FGA) = 30°, paralel doğrular ve kesen ilişkisi nedeniyle CD’deki ilgili açı da 30° | 30° |
| 2. EF // LK paralelliği | m(CMN) = 40°, EF ve LK arasındaki ilgili açı 40° veya 140° (duruma göre) | 40° |
| 3. Açıların birleştirilmesi | İki paralel setindeki eş açı ilişkileri ve açılar arası ekleme/çıkarma | 30° + 40° = 70° |
| 4. m(LKN) hesaplanması | Sorunun asıl hedefi: LKN açısı, 70° olarak bulunur | 70° |
Sonuç olarak: Sorudaki m(LKN) açısı 70°’dir.
5. Anahtar Noktaların Özeti
- AB // CD ve EF // LK gibi iki ayrı paralel çiftinde, aynı veya kesişen transversallar sayesinde birçok eşit veya bütünler açı oluşabilir.
- Verilen 30° ve 40° açıları doğru şekilde ilişkilendirmek, “Z kuralı”, “U kuralı” gibi yöntemlerle istenen açıyı bulmak esastır.
- Sorularda en çok yapılan hata, yanlış paralel doğruları eşleştirerek hatalı açı değerini aktarmaktır. Her zaman hangi doğrular paralel, hangi çizgi kesen? sorusuna dikkatle bakmak gerekir.
6. 5. Soru: Verilen Veri Grubunun Aritmetik Ortalaması
Soru metninde paylaşılan veri grubu şöyledir:
19, 31, 22, 21, x, 20, 51, 19, 17, 21
“Kazanım: M.7.4.1.2. Bir veri grubuna ait ortalama, ortanca ve tepe değeri (mode) bulma ve yorumlama” çerçevesinde, sorumuz:
Bu veri grubunun tepe değeri (mode) 19 olduğuna göre veri grubunun aritmetik ortalaması kaçtır?
6.1. Veri Grubunun İncelenmesi
- Tepe değeri (Mode) 19 ise 19 sayısı bu grupta diğer sayılardan daha fazla tekrar etmelidir.
- Verilen sayıları incelersek: 19 iki kez, 21 iki kez görünmektedir. 19’un tek kesin tepe değeri olabilmesi için 19 en az 3 kez geçmelidir.
- O halde gruptaki
xdeğerinin 19 olması gerekmektedir. Aksi takdirde 19 ile 21 aynı sayıda tekrar edebilir (her ikisi de 2 kere) ve mode belirsiz kalır veya çift mod olabilir.
Dolayısıyla:
x = 19.
6.2. Aritmetik Ortalama Hesabı
Şimdi veri grubunu, x = 19 olarak güncellediğimizde:
Veri grubu:
19, 31, 22, 21, 19, 20, 51, 19, 17, 21
Bu grupta toplam 10 eleman vardır. Aritmetik ortalamayı bulmak için tüm verileri toplayıp 10’a böleceğiz:
- 19 + 31 = 50
- 50 + 22 = 72
- 72 + 21 = 93
- 93 + 19 = 112
- 112 + 20 = 132
- 132 + 51 = 183
- 183 + 19 = 202
- 202 + 17 = 219
- 219 + 21 = 240
Toplam = 240
Aritmetik ortalama = 240 ÷ 10 = 24.
7. Veri Grubu Özet Tablosu
| Veri Elemanları | Değerler |
|---|---|
| Sabit Değerler | 19, 31, 22, 21, 20, 51, 19, 17, 21 |
| Değişken Değer (x) | x = 19 (tepe değer için 19 gerekli) |
| Toplam (T) | 240 |
| Eleman Sayısı (n) | 10 |
| Aritmetik Ortalama ( T / n ) | 240 / 10 = 24 |
| Tepe Değeri | 19 |
Bu tablo, veri setinin temel istatistiksel bilgilerini özetlemektedir.
8. Sonuç ve Özet
- 4. Sorunun Cevabı (m(LKN)): Paralel doğrular ve açı kurallarına göre 70° bulunur.
- 5. Sorunun Cevabı (Aritmetik Ortalama): x = 19 seçilince veri grubunun aritmetik ortalaması 24 olur.
Bu iki çözüm, 7. sınıf matematik kazanımlarının “paralel doğrularla açı ilişkileri” ve “veri analizi (tepe değeri, aritmetik ortalama)” konularındaki temel yöntemleri göstermektedir. Açı hesaplarında, paralel doğruların oluşturduğu iç ters ve yöndeş açı kuralları, veri analizi sorularında ise tepe değeri ve aritmetik ortalama hesaplaması öne çıkar.