Yukarıdaki şekilde bir fabrikada üretilen mikrodalga fırınlarının depolandığı binalar gözükmektedir. Belli bir sayıda üretilen mikrodalga fırınlar bir tıra yüklenerek depoların bulunduğu bölgeye getiriliyor. Tırda bulunan mikrodalga fırınlar aşağıdaki şekilde depolara yerleştirilecektir.
- Yerleştirme işlemi depo numarası 1’den başlamak üzere sırasıyla 1-2-3-4-5-6-7 numaralı depolara yerleştirilecektir.
- Tek numaralı depolara, o anda tırda bulunan mikrodalga fırınlarının \frac{1}{3}'ü indirilerek yerleştirilecektir.
7 numaralı depoya mikrodalga fırınlar yerleştirildikten sonra tırda 48 adet mikrodalga fırın kaldığına göre fabrikadan tıra yüklenen mikrodalga fırın sayısı kaçtır?
A) 1440
B) 1566
C) 1672
D) 1854
E) 1944
Fabrikadan Tıra Yüklenen Toplam Mikrodalga Fırın Sayısının Bulunması
KULLANILAN FORMÜL VE KURAL:
Bir çokluktan belirli bir kesir kadar miktar çıkarıldığında, geriye kalan miktar:
\text{Kalan Miktar} = \text{Mevcut Miktar} \times (1 - \text{İndirilen Oran})
- Tek numaralı depolarda: \frac{1}{3}'ü indirildiğinde kalan oran 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} olur.
- Çift numaralı depolarda: \frac{1}{2}'si indirildiğinde kalan oran 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} olur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Başlangıç Değişkeninin Belirlenmesi
Fabrikadan tıra yüklenen toplam mikrodalga fırın sayısına x diyelim. Depolara yerleştirme işlemi sırasıyla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 numaralı depolara yapılacaktır.
Adım 2 — Her Depo Sonrası Kalan Oranların Hesaplanması
- 1. Depo (Tek): Kalan miktar \rightarrow x \times \frac{2}{3}
- 2. Depo (Çift): Kalan miktar \rightarrow x \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = x \times \frac{1}{3}
- 3. Depo (Tek): Kalan miktar \rightarrow x \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3}
- 4. Depo (Çift): Kalan miktar \rightarrow x \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = x \times \left(\frac{1}{3}\right)^2
- 5. Depo (Tek): Kalan miktar \rightarrow x \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 \times \frac{2}{3}
- 6. Depo (Çift): Kalan miktar \rightarrow x \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = x \times \left(\frac{1}{3}\right)^3
- 7. Depo (Tek): Kalan miktar \rightarrow x \times \left(\frac{1}{3}\right)^3 \times \frac{2}{3} = x \times \frac{2}{81}
Adım 3 — Kalan Fırın Sayısını Eşitleme ve Denklemi Çözme
7 numaralı depodan sonra tırda kalan fırın sayısı 48 olarak verilmiştir:
x \times \frac{2}{81} = 48
Her iki tarafı 2’ye bölelim:
\frac{x}{81} = 24
x = 24 \times 81
x = 1944
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 1944
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kalan Kesir Problemleri
- Tanım: Bir bütünden ardışık olarak belirli kesirler eksildiğinde, her adımda kalan miktar çarpan olarak birbirine eklenir.
- Bu problemde: Tek numaralı depolarda \frac{2}{3}, çift numaralı depolarda \frac{1}{2} çarpanı ardışık olarak uygulanmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kesirleri Toplayarak Çözmek
- Yanlış: İndirilen kesirleri (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \dots) toplayarak bütünden çıkarmaya çalışmak.
- Doğru: Her depoda “o anda tırda bulunan” fırın sayısı üzerinden işlem yapıldığı için kalan oranları birbiriyle çarpmak gerekir.
- Neden yanlış: Kesirler başlangıçtaki sabit x miktarına değil, her adımda azalan yeni miktara uygulanmaktadır.
Bu soru tipini pekiştirmek için benzer bir ardışık kesir problemi çözmemi ister misin?
