- Given y = e?x Inx, what is the value of dy/dx when x=1? 8. Giveny = 32* log, x, what is the value of dy/dx when x=1?
!Resim [Link Silindi]
7. y = e^{2x} \ln x olduğunda, x=1 için \frac{dy}{dx} değeri nedir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Çarpım kuralı: \frac{d}{dx}[u \cdot v] = u'v + uv'
- Zincir kuralı: Üstel fonksiyon türevinde kullanılır.
- \frac{d}{dx} e^{f(x)} = e^{f(x)} \cdot f'(x)
- \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Fonksiyonları ayıralım:
u = e^{2x}, v = \ln x
Adım 2 — Türevlerini bulalım:
u' = \frac{d}{dx} e^{2x} = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}
v' = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}
Adım 3 — Çarpım kuralını uygulayalım:
\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = 2e^{2x} \cdot \ln x + e^{2x} \cdot \frac{1}{x}
Adım 4 — x=1 değerini yerine koy:
\ln 1 = 0
\frac{dy}{dx} = 2e^{2 \cdot 1} \cdot 0 + e^{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{1} = 0 + e^2 = e^2
8. y = 3^{2x} \log_3 x olduğunda, x=1 için \frac{dy}{dx} değeri nedir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Çarpım kuralı
- Üstel fonksiyon türevi ve logaritmanın taban değişim formülü:
\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}
- \frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}
- \frac{d}{dx} a^{g(x)} = a^{g(x)} \ln a \cdot g'(x)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Fonksiyonları ayıralım:
u = 3^{2x} \quad,\quad v = \log_3 x
Adım 2 — Türevlerini bulalım:
Üstel kısım için:
u' = 3^{2x} \ln 3 \cdot 2 = 2 \ln 3 \cdot 3^{2x}
Logaritma türevi için:
v' = \frac{1}{x \ln 3}
Adım 3 — Çarpım kuralını uygulayalım:
\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = 2 \ln 3 \cdot 3^{2x} \cdot \log_3 x + 3^{2x} \cdot \frac{1}{x \ln 3}
Adım 4 — x=1 değerini yerine koy:
\log_3 1 = 0
\frac{dy}{dx} = 2 \ln 3 \cdot 3^{2} \cdot 0 + 3^{2} \cdot \frac{1}{1 \cdot \ln 3} = \frac{9}{\ln 3}
CEVAP:
-
- soru için \frac{dy}{dx} = e^2
-
- soru için \frac{dy}{dx} = \frac{9}{\ln 3}
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Given y = e^{2x}\ln x, what is the value of \dfrac{dy}{dx} when x=1?
USED RULE / FORMULA:
- Product Rule: (fg)'=f'g+fg'
- Chain Rule: (e^{u})' = e^{u}u'
- Derivative of \ln x: (\ln x)' = \dfrac{1}{x}
SOLUTION STEPS:
Adım 1 — Uygula: product rule
Differentiate y=e^{2x}\ln x using the product rule:
y'=(e^{2x})'\ln x + e^{2x}(\ln x)'
Adım 2 — Türevleri hesapla
(e^{2x})' = e^{2x}\cdot(2) ve (\ln x)' = \dfrac{1}{x}. Bu nedenle:
y' = 2e^{2x}\ln x + e^{2x}\cdot \dfrac{1}{x}
Adım 3 — Faktör al
Factor e^{2x}:
y' = e^{2x}\!\left(2\ln x + \dfrac{1}{x}\right)
Adım 4 — x=1 koy ve sadeleştir (ara ifade)
\ln 1 = 0 ve \dfrac{1}{1}=1, ayrıca e^{2\cdot 1}=e^{2}. Bu nedenle türevin ifadesi değerlendirilirken elde edilen çarpan:
e^{2}\!\left(2\cdot 0 + 1\right)
ANSWER: e^{2}
Given y = 3^{2x}\log_{3}x, what is the value of \dfrac{dy}{dx} when x=1?
USED RULE / FORMULA:
- Product Rule: (fg)'=f'g+fg'
- Derivative of a^{u}: (a^{u})' = a^{u}\ln(a)\,u'
- Derivative of \log_{a}x: \displaystyle (\log_{a}x)'=\dfrac{1}{x\ln a}
SOLUTION STEPS:
Adım 1 — Uygula: product rule
Differentiate y=3^{2x}\log_{3}x:
y'=(3^{2x})'\log_{3}x + 3^{2x}(\log_{3}x)'
Adım 2 — Türevleri hesapla
(3^{2x})' = 3^{2x}\ln 3 \cdot (2) = 2\ln 3 \cdot 3^{2x}. Ve (\log_{3}x)' = \dfrac{1}{x\ln 3}. Bu yüzden:
y' = 2\ln 3 \cdot 3^{2x}\log_{3}x + 3^{2x}\cdot \dfrac{1}{x\ln 3}
Adım 3 — Faktör al ve sadeleştir
Factor 3^{2x}:
y' = 3^{2x}\!\left(2\ln 3\cdot \log_{3}x + \dfrac{1}{x\ln 3}\right)
Not: \log_{3}x=\dfrac{\ln x}{\ln 3}, dolayısıyla 2\ln 3\cdot \log_{3}x = 2\ln x. Böylece:
y' = 3^{2x}\!\left(2\ln x + \dfrac{1}{x\ln 3}\right)
Adım 4 — x=1 koy ve sadeleştir (ara ifade)
\ln 1=0, 3^{2\cdot 1}=9 ve \dfrac{1}{1\cdot \ln 3}=\dfrac{1}{\ln 3}. Bu durumda türevin değerlendirilmiş çarpanı:
9\!\left(2\cdot 0 + \dfrac{1}{\ln 3}\right)=9\cdot \dfrac{1}{\ln 3}
ANSWER: \displaystyle \frac{9}{\ln 3}
KEY CONCEPTS:
- Product Rule: used when multiplying two functions.
- Chain Rule / exponential derivative: derivative of a^{u} uses \ln a.
COMMON MISTAKES:
Forgetting the \ln a factor when differentiating a^{u}.
- Correct: include \ln a.
- Why wrong: derivative of 3^{2x} is not just 2\cdot 3^{2x}.
- Fix: multiply by \ln 3.
Feel free to ask if you have more questions!