7 Dik koordinat düzleminde [0, 6] kapalı aralığında tanımlı f ve g fonksiyonlarının grafikleri aşağıda verilmiştir. 2 0 y 2 (g-) (a) = f(a) (f• 9) (b) = f(b) (f-9) (c) = g(6) (0, 6) açık aralığında a, b ve c gerçel sayıları için eşitlikleri sağlanmaktadır. A) a <b<c 4 6 B)a <c<b D) b<a<c y= f(x) Buna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğru olabilir? y=g C) b<c<a E) c< b <a
7 Dik koordinat düzleminde [0, 6] kapalı aralığında tanımlı f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. (g − f)(a) = f(a), (f • g)(b) = f(b), (f − g)(c) = g(6) eşitliklerini sağlayan a, b ve c için doğru sıralama nedir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- (g − f)(a) = f(a) ise g(a) − f(a) = f(a) → g(a) = 2f(a)
- (f • g)(b) = f(b) ise f(g(b)) = f(b)
- (f − g)(c) = g(6) ise f(c) − g(c) = g(6)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — (g − f)(a) = f(a) eşitliğini incele
(g − f)(a) = f(a) ise g(a) − f(a) = f(a), buradan
g(a) = 2f(a)
Grafikte f(a) ve g(a) noktalarına bakarak bu durumun sağlandığı a noktasını bulalım.
Adım 2 — (f • g)(b) = f(b) eşitliğini incele
(f • g)(b) = f(b) ise:
f(g(b)) = f(b)
f fonksiyonu genellikle tek değerli olduğu için, aynı f değerlerini ancak aynı x veya simetrik noktalarda alabilir. Grafiğe bakarak bu eşitliği sağlayan b noktasını bulalım.
Adım 3 — (f − g)(c) = g(6) eşitliğini incele
(f − g)(c) = g(6) ise:
f(c) - g(c) = g(6)
Grafikten g(6) değerini belirleyelim (g fonksiyonu 6 noktasında y=0), sonra da bu eşitliği sağlayan c noktasını bulalım.
Adım 4 — Noktaların sıralamasını belirleyelim
- g(6) = 0
- (f − g)(c) = 0 → f(c) = g(c)
- Grafikte f(x) ve g(x) fonksiyonlarının kesişim noktalarına bakalım → yaklaşık olarak x=1.6 ve x=4.8 gibi.
Bu bilgilerden hareketle:
- a için g(a) = 2 f(a) → g(a) > f(a)
- c için f(c) = g(c) → kesişim noktalarından biri
- b için f(g(b)) = f(b) → bu, b ve g(b) için f fonksiyonunda aynı y değerlerinin olması gerektiği anlamına gelir.
Grafikte inceleyince:
- a noktası yaklaşık 1.5 civarında (a < c < b olabilir)
- c kesişim noktası (yaklaşık 3)
- b yaklaşık 5.5 civarında
Yani sıralama:
a < c < b
CEVAP: B) a < c < b
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Dik koordinat düzleminde [0,6] aralığında tanımlı f ve g grafiklerine göre (g−f)(a)=f(a), (f∘g)(b)=f(b), (f−g)(c)=g(6) eşitlikleri sağlanıyorsa hangi sıralama doğru olabilir?
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Grafikten temel gözlemler
-
Grafikte f ve g iki noktada kesişiyor; bu kesişim noktalarını sırasıyla x_1 (soldaki kesişim) ve x_2 (sağdaki kesişim) ile gösterelim ve x_1<x_2 olsun.
-
x\in(x_1,x_2) için g(x)>f(x) ve x\notin(x_1,x_2) için f(x)>g(x) gözlemlenir.
Adım 2 — Her eşitlikten çıkarımlar
-
(g−f)(a)=f(a) eşitliğinden
g(a)-f(a)=f(a)
= g(a)=2f(a)
Çıkarım: g(a)>f(a) olduğuna göre a\in(x_1,x_2). Yani a iki kesişim noktası arasındadır.
-
(f−g)(c)=g(6) eşitliğinden
f(c)-g(c)=g(6)
Grafikten g(6)=0 olduğu için
= f(c)-g(c)=0
= f(c)=g(c)
Çıkarım: c kesinlikle kesişim noktalarından biridir; yani c = x_1 veya c = x_2.
-
(f∘g)(b)=f(b) eşitliğinden
f(g(b))=f(b)
Çıkarım: b için g(b) ile b aynı f-değerini veren x değerlerinden biridir. Grafik yapısına bakıldığında f’in orta bölgede (x_1,x_2) çok daha küçük değerlere sahip olduğu, uçlarda ise daha büyük değerlere sahip olduğu görülür. Eğer b\in(x_1,x_2) olsaydı f(b) küçük olurken g(b) büyük olacak ve f(g(b)) büyük olacağı için eşitlik sağlanamaz. Bu yüzden b \notin (x_1,x_2) olmalıdır; yani b < x_1 veya b > x_2.
Adım 3 — Şıklara göre mümkünlük kontrolü
-
A) a < b < c
a zaten x_1<x<x_2 içindedir. Eğer b<x_1 olsaydı b<a olur, A imkansızdır. Eğer b>x_2 olsaydı b>c (eğer c=x_2) veya b>c (eğer c=x_1) olur; yine b<c şartını sağlayamaz.
Sonuç: A olamaz. -
B) a < c < b
Bu durum mümkün olabilir. Örneğin c=x_2 (sağdaki kesişim), a\in(x_1,x_2) ve b>x_2 alındığında sıralama a<c<b olur. Ayrıca b>x_2 alınırsa b\notin(x_1,x_2) koşulu da sağlanır ve f(g(b))=f(b) olacak şekilde uygun bir b seçilebilir.
Sonuç: B mümkündür. -
C) b < c < a
Burada c ya x_1 ya da x_2 olduğundan tek olası alt-durum b<x_1<c=a gibi bir şey olur. Ancak b<x_1 alınırsa önceki çıkarıma göre b\notin(x_1,x_2) doğru olsa da grafikten b<x_1 için genelde f(g(b))\neq f(b) olur (çünkü sol uçlarda g(b) küçük değerler verir ve f(g(b)) f(b)'den farklı olur). Bu nedenle C pratikte sağlanamaz.
Sonuç: C olası değildir. -
D) b < a < c
a zaten x_1<a<x_2 olduğundan b<a için b<x_1 olması gerekir. Fakat b<x_1 durumunda yine (f∘g)(b)=f(b) şartını sağlamak zor; ayrıca a<c olması için c=x_2 gerekecektir; ancak b’nin sol uçta olması eşitliğin sağlanmasını zorlaştırır. Bu şık güvenilir şekilde sağlanamaz.
Sonuç: D olası değildir. -
E) c < b < a
Burada a arada değil, a’nın (x_1,x_2) içinde olduğu bilinmektedir; c<x_1<a şeklinde c=x_1 ve b de x_1<b<a olması gerekir. Fakat eğer b\in(x_1,a)\subset(x_1,x_2) olursa b aralıkta olur ki daha önce b\notin(x_1,x_2) demiştik. Dolayısıyla E olamaz.
Sonuç: E olası değildir.
Adım 4 — Seçenek karşılaştırması
- B. a < c < b — MÜMKÜN
A. a < b < c — YANLIŞ- C. b < c < a — YANLIŞ
- D. b < a < c — YANLIŞ
- E. c < b < a — YANLIŞ
CEVAP: B) a < c < b
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
AÇIKLAMA:
Kısaca: a iki kesişim noktası arasındadır; c bir kesişim noktasıdır; b ise kesişimlerin dışındadır. Bu düzen yalnızca B şıkkıyla tutarlı bir sıralama verir.
TEMEL KAVRAMLAR:
- Kesişim noktaları
- Tanım: f(x)=g(x) olduğu x değerleri.
- Bu problemde: c bu noktalardan biridir; a bu iki noktanın arasındadır.
- Fonksiyon kompozisyonu
- Tanım: f(g(b))=f(b) eşitliği, g(b)'nin f ile aynı değere karşılık gelen bir x değeri olduğunu söyler.
- Bu problemde: b, (x_1,x_2) aralığında olamaz; uçlarda bir değer olmalıdır.
SIK YAPILAN HATA
Yanlış: a’nın kesişim noktasından önce olduğu kabul edilmesi.
Doğru: a kesinlikle iki kesişim noktası arasındadır.
Neden yanlış: (g−f)(a)=f(a) eşitliği g(a)>f(a) gerektirir; bu yalnızca iki kesişim arasında olur.
Düzeltme: Grafikten g−f işaretine bakıp a’yı doğru bölgeye yerleştir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
anlamiyom nasil ol ak
7 Dik koordinat düzleminde [0, 6] aralığında tanımlı f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiş ve (g − f)(a) = f(a), (f ∘ g)(b) = f(b), (f − g)(c) = g(6) eşitlikleri sağlanıyorsa doğru sıralama nedir?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
-
(g − f)(a) = f(a) ise:
g(a) - f(a) = f(a) \implies g(a) = 2 f(a)
Yani g(a) > f(a) olmalıdır. -
(f ∘ g)(b) = f(b) ise:
f(g(b)) = f(b)
Bu durum b ve g(b) sayılarının f fonksiyonunda aynı görüntü değerine karşılık geldiğini söyler. -
(f − g)(c) = g(6) ise ve grafikden g(6) = 0 olduğuna göre:
f(c) - g(c) = 0 \implies f(c) = g(c)
Yani c noktası fonksiyonların kesişim noktalarından biridir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Fonksiyonların kesişim noktalarını belirle
Grafikte f ve g fonksiyonları iki yerde kesişiyor. Bu kesişim noktalarına sırasıyla x_1 ve x_2 diyelim ve x_1 < x_2 olsun.
Adım 2 — a için çıkarım
(a için) g(a) = 2 f(a) olması gerekiyor. Yani g(a) > f(a) olmalı. Grafiğe göre bu ancak a değerinin iki kesişim noktası arasında olduğu durumda gerçekleşir. Yani:
a \in (x_1, x_2)
Adım 3 — c için çıkarım
c noktası, f(c) = g(c) olmalı; bu ancak c = x_1 veya c = x_2 olur.
Adım 4 — b için çıkarım
f(g(b)) = f(b) eşitliği, b ve g(b) değerlerinin f’de aynı görüntüye sahip olduğunu anlatır. Grafikte buna göre b iki kesişim noktası arasından olamaz, çünkü o aralıkta f değeri çok küçük ve g(b) farklı olur. Dolayısıyla b \in [0, x_1) ya da b \in (x_2, 6] olmalıdır.
Adım 5 — Sıralamanın analizi
- a \in (x_1, x_2),
- c = x_1 veya c = x_2,
- b < x_1 veya b > x_2.
Bu durumda aşağıdaki sıralamalar mümkün olur:
- Eğer c = x_2 ve b > x_2 ise:
a < c < b olur. (B şıkkı)
Diğer sıralamalar ya a’nın konumuna ya da b’nin aralıktaki yerine uymadığı için geçersizdir.
CEVAP: B) a < c < b
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?