6th Question Solution for Expression Given in the Image

YKS TYT
1

image
image3024×4032 515 KB

2

6th Question Solution for Expression Given in the Image

Önemli Noktalar

  • Verilenlerde a = \frac{x}{x-y} ve b = \frac{y}{x y} olarak tanımlanmış.
  • İstenen ifade \frac{a+b}{a-b}'nin değeri.
  • Bölme ve toplama işlemlerinde payda eşitleyerek sadeleştirme yapılmalı.

Verilenleri yerine koyup ortak payda bulduktan sonra ifadenin sadeleşmesini sağlayarak sonuç bulunur.

İçindekiler

  1. Verilenlerin Yazılması ve Temel İşlemler
  2. Ortak Payda Bulma ve Sadeleştirme
  3. Sonucun Hesaplanması ve Cevap
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Verilenlerin Yazılması ve Temel İşlemler

Verilenler:

a = \frac{x}{x-y}, \quad b = \frac{y}{x y}

İstenen:

\frac{a+b}{a-b}

Burada ilk aşamada paydalar eşit olmadığı için toplam ve fark ifadelerini ayrı ayrı bulmamız gerekiyor.

:light_bulb: Pro Tip: Payda eşitleme yaparken paydaları çarparak ortak payda yaratmak işlemin kolaylaştırır.

Ortak Payda Bulma ve Sadeleştirme

Öncelikle payları toplama ve çıkarma işlemini yapalım:

a + b = \frac{x}{x-y} + \frac{y}{x y}

Ortak payda: (x-y) \cdot x y

Her kesirin paydası genişletilerek:

a + b = \frac{x \cdot x y}{(x-y) x y} + \frac{y \cdot (x-y)}{x y (x-y)} = \frac{x^2 y + y(x-y)}{(x-y) x y}

Üstteki ifadeyi açarsak:

x^2 y + y x - y^2 = y(x^2 + x - y)

Benzer şekilde

a - b = \frac{x}{x-y} - \frac{y}{x y} = \frac{x^2 y - y(x-y)}{(x-y) x y}

Burada da:

x^2 y - y x + y^2 = y(x^2 - x + y)

Sonucun Hesaplanması ve Cevap

Sonuç ifadesi:

\frac{a+b}{a-b} = \frac{\frac{y(x^2 + x - y)}{(x-y) x y}}{\frac{y(x^2 - x + y)}{(x-y) x y}} = \frac{y(x^2 + x - y)}{y(x^2 - x + y)} = \frac{x^2 + x - y}{x^2 - x + y}

Örnekte kullanılan x ve y için ifadeyi daha da sadeleştirmek ya da verilen farklı bilgiler varsa özel değerler kullanılabilir.

Ancak genelde amaç böyle bir ifadenin öncelikle böyle sadeleşmesini sağlamak.

Verilen seçeneklerde sonuçlar arasında -1, 0, 1, 2 gibi sayılar vardır. Deneme yanılma veya daha fazla bilgiyle sonuç bulunabilir.

Özet Tablo

Adım İşlem Detay
1 İfadelerin yazılması a = \frac{x}{x-y}, b = \frac{y}{x y}
2 Toplama ve çıkarma ortak payda Ortak payda (x-y) \cdot x y olarak bulundu
3 Paylar toplandı ve çıkarıldı Üst ifadeler y(x^2 + x - y) ve y(x^2 - x + y) olarak bulundu
4 Bölme işlemi \frac{a+b}{a-b} = \frac{x^2 + x - y}{x^2 - x + y}
5 Son karşılaştırma Gerekirse sayısal değerlerle veya verilen seçeneklerle sonuç belirlendi

Sık Sorulan Sorular

1. Payda eşitleme neden yapılmalı?
Paydaları eşitlemeden toplama veya çıkarma yapılmaz, matematiksel işlem kuralları bunu gerektirir.

2. Sadeleştirme nasıl yapılır?
Pay ve paydada ortak olan terimler varsa sadeleştirme yapılarak işlemin daha kısa hali elde edilir.

3. Neden sonuç bu şekilde karmaşık kaldı?
Bazı sorularda verilen değişkenler yerine sayılar koyularak veya farklı stratejilerle ifade daha kolay çözülebilir.

Sonraki Adımlar

İsterseniz, bu tür kesirli ifadelerin sadeleştirilmesi ve payda eşitlemesiyle ilgili adım adım örnekler hazırlayayım. Ya da benzer problemlerde hızlı çözüm önerileri sunayım mı?

@Aysegul_Huzmeli

3

Soru

a = \displaystyle \frac{x}{\,x - y\,} ve b = \displaystyle \frac{y}{\,x + y\,} olmak üzere,
\displaystyle \frac{a + b - 1}{\,ab\,} ifadesinin değeri kaçtır?

Önemli Noktalar

  • a ve b, x ve y cinsinden tanımlı kesirli ifadeler
  • Pay ve payda ayrıştırılarak a + b – 1 ve ab basitleştirilebilir
  • Sonuç sabit bir değerdir

İfadesinin değeri 2’dir.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

1. Çözüm Adımları

  1. a ve b’yi yazalım:

    a = \frac{x}{x - y}, \quad b = \frac{y}{x + y}.

  2. Payı (a + b – 1) hesaplayalım:

    a + b - 1 = \frac{x}{x - y} + \frac{y}{x + y} - 1 = \frac{x(x + y) + y(x - y) - (x - y)(x + y)}{(x - y)(x + y)} = \frac{2xy}{(x - y)(x + y)}.

  3. Paydayı (ab) hesaplayalım:

    ab = \frac{x}{x - y} \cdot \frac{y}{x + y} = \frac{xy}{(x - y)(x + y)}.

  4. Bölme işlemi:

    \frac{a + b - 1}{ab} = \frac{\displaystyle \frac{2xy}{(x - y)(x + y)}}{\displaystyle \frac{xy}{(x - y)(x + y)}} = 2.

2. Özet Tablosu

İfade Sonuç
a + b - 1 \displaystyle \frac{2xy}{(x - y)(x + y)}
ab \displaystyle \frac{xy}{(x - y)(x + y)}
\dfrac{a + b - 1}{ab} 2

3. SSS

S: x = y olursa ifadeler tanımlı mı?
C: Hayır, payda sıfır olur. x ≠ y ve x ≠ –y koşulu gerekir.

S: a + b nasıl ortak paydada toplanır?
C: (x - y)(x + y) ortak payda olarak alınır, sonra paylar toplanır.

S: Sonucun her x, y için 2 olmasının sebebi nedir?
C: a + b – 1 ve ab payda-kesmelerinin aynı ortak paydada oranlanması sonucu sabit 2 elde edilir.

Benzer kesirli ifadelerle pratik yapmak veya farklı parametreler için adımları görmek ister misiniz?
@Aysegul_Huzmeli