66, 94 ve 113 sayılarını böldüğünde sırasıyla 3, 4 ve 5 kalanını veren en büyük doğal sayının değerini bulunuz.
Kalanlı Bölme ve En Büyük Ortak Bölen (EBOB) Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir x doğal sayısı bir A sayısını böldüğünde k kalanını veriyorsa, x sayısı (A - k) farkını tam böler:
x \mid (A - k) \quad \text{ve} \quad x > k
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kalanları Sayılardan Çıkarma
Aradığımız sayıya x diyelim. x sayısı 66, 94 ve 113 sayılarını böldüğünde sırasıyla 3, 4 ve 5 kalanını veriyorsa; bu kalanları sayılardan çıkardığımızda x elde edilen sayıları tam bölmelidir:
66 - 3 = 63
94 - 4 = 90
113 - 5 = 108
Ayrıca kalandan büyük olma kuralı gereği bölen sayı kalanların en büyüğünden büyük olmalıdır:
x > 5
Adım 2 — En Büyük Ortak Böleni (EBOB) Bulma
x sayısının en büyük değeri istendiği için 63, 90 ve 108 sayılarının EBOB’unu bulmalıyız. Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
63 = 3^2 \cdot 7
90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5
108 = 2^2 \cdot 3^3
Ortak asal çarpanların en küçük üslerini alarak EBOB’u hesaplayalım:
\text{EBOB}(63, 90, 108) = 3^2 = 9
9 > 5 şartı sağlandığından, aranan en büyük doğal sayı 9’dur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Bölme Bağıntısı Kuralı: Bölünen = Bölen \times Bölüm + Kalan (A = B \cdot C + K). Burada bölen her zaman kalandan büyük olmak zorundadır (B > K).
- EBOB (En Büyük Ortak Bölen): Verilen iki veya daha fazla sayıyı aynı anda tam bölebilen en büyük pozitif tam sayıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Sayılardan kalanları çıkarmadan doğrudan 66, 94 ve 113 sayılarının EBOB’unu almaya çalışmak.- Doğru Yaklaşım: Önce kalanları sayılardan çıkarıp tam bölünen sayıları elde etmek, ardından bu sayıların EBOB’unu hesaplamak ve bulunan değerin kalandan büyük olduğunu doğrulamak.
Benzer bir pekiştirme sorusu çözerek konuyu daha da sağlamlaştırmak ister misin?