Matematik Problemi Çözümü: Kuru Üzüm ve Kuru Kayısı Hesabı
Soruya göre:
- 3ᵃ kg yaş üzüm kurutulduğunda 3ᵃ⁻² kg kuru üzüm elde ediliyor.
- 7ᵇ kg yaş kayısı kurutulduğunda 7ᵇ⁻¹ kg kuru kayısı elde ediliyor.
- Yaş üzüm miktarı: 216 kg
- Yaş kayısı miktarı: 245 kg
Problem, belirttiğimiz yaş üzüm ve kayısı miktarlarının kurutulması sonucunda toplam kaç kg kuru üzüm ve kuru kayısı elde edileceğini bulmamızı istiyor.
Adım Adım Çözüm
1. Üzüm Hesabı
Kurallar: 3ᵃ yaş üzüm → 3ᵃ⁻² kuru üzüm.
- 216 kg yaş üzüm var, bu miktar formülümüz olan 3ᵃ değerine denktir.
$$ 3ᵃ = 216 $$
Buradan a değerini hesaplayalım:
Dolayısıyla:
Kuru üzüm miktarını hesaplamak için:
2. Kayısı Hesabı
Kurallar: 7ᵇ yaş kayısı → 7ᵇ⁻¹ kuru kayısı.
- 245 kg yaş kayısı var, bu miktar formülümüz olan 7ᵇ değerine denktir.
$$ 7ᵇ = 245 $$
Buradan b değerini hesaplayalım:
Dolayısıyla:
Kuru kayısı miktarını hesaplamak için:
Sonuç
- Kuru üzüm miktarı: 27 kg
- Kuru kayısı miktarı: 49 kg
Bu nedenle toplam:
Cevap:
27 kg kuru üzüm ve 49 kg kuru kayısı elde edilir. Toplam: 76 kg kuru ürün.
65.soru
Answer:
Adım 1: Kurutma Oranlarını Bulma
• Üzümle ilgili verilen ifade: 3^a kg yaş üzüm kurutulduğunda 3^(a−2) kg kuru üzüm elde edilir.
- Oran: 3^(a−2) / 3^a = 1 / 3^2 = 1/9
- Yani yaş üzümün kurutulmuş hâli, başlangıç miktarının 1/9’u kadardır.
• Kayısıyla ilgili verilen ifade: 7^b kg yaş kayısı kurutulduğunda 7^(b−1) kg kuru kayısı elde edilir.
- Oran: 7^(b−1) / 7^b = 1 / 7
- Yani yaş kayısının kurutulmuş hâli, başlangıç miktarının 1/7’si kadardır.
Adım 2: 216 kg Yaş Üzüm Kurutma
• 216 kg yaş üzüm kurutulduğunda, oran 1/9 olduğundan:
216 × (1/9) = 24 kg kuru üzüm elde edilir.
Adım 3: 245 kg Yaş Kayısı Kurutma
• 245 kg yaş kayısı kurutulduğunda, oran 1/7 olduğundan:
245 × (1/7) = 35 kg kuru kayısı elde edilir.
Adım 4: Sonuç
• Toplam kuru üzüm + kuru kayısı = 24 + 35 = 59 kg.
• Soruda “toplam kaç kg kuru üzüm ve kuru kayısı elde edilir?” diye sorulduğundan:
- 24 kg kuru üzüm
- 35 kg kuru kayısı
- Toplam 59 kg şeklinde cevaplanır.
@User
216 kg Yaş Üzüm ve 245 kg Yaş Kayısı Kurutulduğunda Elde Edilen Kuru Üzüm ve Kuru Kayısının Hesaplanması
Cevap:
Aşağıdaki tüm açıklamalarda, soruda verilen veriler ve matematiksel oranlar esas alınarak ayrıntılı bir şekilde (en az 2000 kelime olacak biçimde) çözüme ulaşılmıştır. Her bir adım olabildiğince açıklayıcı biçimde verilmiştir.
Giriş
Bu soruda iki farklı meyvenin – üzüm ile kayısının – kurutulması sonucu elde edilen kuru meyve miktarlarını bulmamız isteniyor. Problemde iki kritik ifade mevcuttur:
- 3^a kg yaş üzüm kurutulduğunda 3^(a−2) kg kuru üzüm elde ediliyor.
- 7^b kg yaş kayısı kurutulduğunda 7^(b−1) kg kuru kayısı elde ediliyor.
Buradan, yaş meyve miktarı ile kuru meyve miktarı arasındaki oranları anlamamız gerekiyor. Soruda bizden istenen, “216 kg yaş üzüm ve 245 kg yaş kayısı” kurutulduğunda toplam kaç kilogram kuru üzüm ve kuru kayısı elde edildiğidir.
Bu soruyu çözebilmek için öncelikle problemde verilen ifadelere daha yakından bakacağız, ardından oransal bir yaklaşım ile sonuca ulaşacağız. Bu oldukça sıradan bir problem gibi görünse de, aslında katı bir orantı kavramı içerir. “3^a kg yaş üzüm → 3^(a−2) kg kuru üzüm” ifadesi, yaş üzüm miktarı ile kuru üzüm miktarı arasındaki belirli bir sabit oranı işaret eder. Aynı şekilde “7^b kg yaş kayısı → 7^(b−1) kg kuru kayısı” ifadesi de yaş kayısı miktarı ile kuru kayısı miktarı arasındaki bir sabit oranın var olduğunu bize göstermektedir.
Bu noktada, soruyu adım adım inceleyerek ilerleyeceğiz. Bol örnek, detaylı açıklama ve tablolarla sonuca varacak, aynı zamanda bu tür soruların çözümlerinde kullanılan temel matematiksel kavramları da gözden geçirmiş olacağız.
Problemdeki Bilgilerin Ayrıntılı Analizi
1. Üzüm Kurutma Oranı (3^a → 3^(a−2))
-
Verilen ifade: “3^a kg yaş üzüm kurutulduğunda 3^(a−2) kg kuru üzüm elde ediliyor.”
-
Bu ifadeyi oransal olarak inceleyecek olursak:
Yaş üzüm miktarı = 3^a
Kuru üzüm miktarı = 3^(a−2)Oran = (Kuru üzüm miktarı) / (Yaş üzüm miktarı) = 3^(a−2) / 3^a = 3^(-2) = 1 / 3^2 = 1 / 9.
Görüldüğü gibi hangi “a” tam sayısı geçerli olursa olsun, yaş üzüm miktarı ne kadar olursa olsun, kuru üzüm miktarı yaş üzüm miktarının 1/9’u kadar olacaktır. Bu, problemdeki en önemli noktalardan biridir. Yani elimizde kaç kilogram yaş üzüm varsa bunun 1/9’u kadar kuru üzüm elde edilir.
2. Kayısı Kurutma Oranı (7^b → 7^(b−1))
-
Verilen ifade: “7^b kg yaş kayısı kurutulduğunda 7^(b−1) kg kuru kayısı elde ediliyor.”
-
Bu ifadeyi oransal olarak inceleyecek olursak:
Yaş kayısı miktarı = 7^b
Kuru kayısı miktarı = 7^(b−1)Oran = (Kuru kayısı miktarı) / (Yaş kayısı miktarı) = 7^(b−1) / 7^b = 7^(-1) = 1 / 7.
Bu demektir ki kuru kayısı miktarı yaş kayısı miktarının 1/7’sidir. Yaş kayısı ne kadar olursa olsun, 1/7 oranında kuru kayısı elde ederiz.
Görüldüğü üzere “a” ve “b” tam sayıları, soruda doğrudan nihai cevabı bulmamızda bir engel teşkil etmemektedir; çünkü oransal olarak baktığımızda, tüm yaş üzümün kuru üzüm oranı sabit “1/9”, yaş kayısının kuru kayısı oranı ise sabit “1/7” olmaktadır.
Adım Adım Çözüm Yöntemi
Şimdi soruda asıl istenene gelelim. Soruda, “Buna göre 216 kg yaş üzüm ile 245 kg yaş kayısı kurutulunca toplam kaç kg kuru üzüm ve kuru kayısı elde edilir?” diye sorulmuştur.
-
Yaş Üzüm (216 kg → Kuru Üzüm)
-
Yaş üzümün kuruma oranı: 1/9.
-
Elimizde 216 kg yaş üzüm olduğuna göre:
Kuru üzüm miktarı
= 216 × (1/9)
= 216 / 9
= 24 kg.
Yani, 216 kg yaş üzüm kurutulduğunda 24 kg kuru üzüm elde ediyoruz.
-
-
Yaş Kayısı (245 kg → Kuru Kayısı)
-
Yaş kayısının kuruma oranı: 1/7.
-
Elimizde 245 kg yaş kayısı olduğuna göre:
Kuru kayısı miktarı
= 245 × (1/7)
= 245 / 7
= 35 kg.
Yani, 245 kg yaş kayısı kurutulduğunda 35 kg kuru kayısı elde ediyoruz.
-
Bu iki temel hesabı yaptıktan sonra, sorunun istediği nihai sonuç (toplam kaç kg kuru üzüm ve kuru kayısı elde edildiği) şu şekilde özetlenebilir:
- Kuru üzüm = 24 kg
- Kuru kayısı = 35 kg
Derinlemesine Konu Anlatımı ve Genişletilmiş Örnekler
Bu bölümde, yukarıdaki iki temel oranın nereden geldiğini, sorunun genel mantığını ve benzer tipteki problemlerde izlenmesi gereken stratejileri daha detaylı inceleyeceğiz. Bu inceleme, özellikle problemlerini kendi kendine çözmek isteyen ve benzer tarzda sorularla karşılaşan öğrencilere yol gösterecektir.
1. Üsleri Anlama ve Oran Çıkarma Mantığı
Üs alma işlemi, örneğin 3^a ve 3^(a−2) gibi değerleri incelediğimizde, şu temel kurala dayanır:
Matematikte verileri bu şekilde oranlamak; köklü sayılar, üslü sayılar veya çarpanlara ayırma gibi herhangi bir işlem olsun, çok sık kullanılan bir yöntemdir. Yukarıdaki örnekte, 3^a kg yaş üzümün 3^(a–2) kg kuru üzüme dönüştüğü bilgisi, doğrudan oranın 1/9 olduğunu gösterir. Esas dikkat edilmesi gereken nokta şudur: “a” belli bir tam sayı olabilir ama elimizdeki kg miktarı “3^a”’ya eşit değilse dahi, orantı sabittir. Yani meyvenin tümüne uygulanan kuruma oranı her zaman aynı kalır.
2. Hangi Miktarda Yaş Meyve Olursa Olsun Oran Değişmez
Gerek yaş üzüm, gerekse yaş kayısı miktarı problemde verilen 3^a veya 7^b’nin aynısı olmasa bile, oranın sabit olması aslında oransal düşünme yöntemiyle kolayca açıklanabilir. Çünkü:
-
Üzüm:
Oran = 1/9
Bu, meyve miktarı 1 kg ise 1/9 kg kuru üzüm elde edilir anlamına geldiği gibi, 216 kg ise 216 × (1/9) = 24 kg kuru üzüm elde edilir demektir. -
Kayısı:
Oran = 1/7
Böylece 1 kg yaş kayısı 1/7 kg kuru kayısı eder, 245 kg için ise 245 × (1/7) = 35 kg elde edilir.
Bu yaklaşımı başka tip ürünler (örneğin incir veya elma) söz konusu olduğunda da uygulayabilirsiniz. Oran bir kez tespit edildikten sonra, her 1 kilogram için ne kadar kuru meyve elde edildiği hesaplanır ve sonra istenen kilograma çarpılır.
3. Soruların Genelleştirilmesi
Söz konusu problem daha farklı sayılarla, hatta farklı üslerle de ortaya çıkabilir. Örneğin:
- 2^n kg yaş bir meyve 2^(n−1) kg kuru meyveye dönüşüyor ise, otomatik olarak oranın 1/2 olduğu sonucu çıkar.
- 5^m kg yaş bir meyve 5^(m−3) kg kuru meyveye dönüşüyor ise, oranın 5^(m−3)/5^m = 5^(-3) = 1/125 olduğu anlaşılır.
Dolayısıyla, bu tip sorularda ilk yapılması gereken, yaş meyve ile kuru meyve arasındaki sabit oranı bulmaktır. Ardından, bu oran doğrultusunda istenen mevcut taze (yaş) meyve miktarından yola çıkıp ne kadar kuru meyve elde edileceğini hesaplamaktır.
4. Sayısal Hesaplamaların Kontrolü ve Analizi
Sınav veya günlük hayatta problem çözerken, genellikle en sık yapılan hatalardan biri basit bölme ve çarpma hataları olabilir. Bu nedenle, “216 / 9” ve “245 / 7” gibi işlemlerin hata payı olmadan yapılabilmesi için birkaç yol izlenebilir:
- 216 gibi bir sayıyı 9’a bölerken, 9×20 = 180 ve 9×4 = 36 yöntemiyle zihinden hesaplama yapılabilir: 180 + 36 = 216, dolayısıyla 20 + 4 = 24.
- 245 gibi bir sayıyı 7’ye bölerken, 7×30 = 210 ve 7×5 = 35 yöntemiyle hareket edilebilir. 210 + 35 = 245, sonuç 30 + 5 = 35.
Böylelikle, bu hesapların doğruluğundan emin oluruz.
Geniş Kapsamlı Bir Uygulama Senaryosu
Şimdi bu soruyu biraz daha geniş bir senaryoya taşıyarak tekrar değerlendirelim. Örneğin kurutma tesisi olan bir işletme düşünelim:
- Tesise getirilen yaş üzüm miktarı: 2160 kg (216 kg’nin 10 katı).
- Tesise getirilen yaş kayısı miktarı: 2450 kg (245 kg’nin 10 katı).
Veya meyve miktarları başka katlarda olabilir. Bizim çözüm yolumuz değişmez:
- Üzüm için Oran = 1/9: 2160 kg → 2160 × (1/9) = 240 kg kuru üzüm elde edilir.
- Kayısı için Oran = 1/7: 2450 kg → 2450 × (1/7) = 350 kg kuru kayısı elde edilir.
Aynı mantığı, 1 kg’dan 1 milyar kg’a kadar yaş meyve için yine uygulayabiliriz. Ölçek büyüse de orantı değişmez. Bu yaklaşım, gerçek hayattaki kurutma tesislerinde de sıklıkla kullanılır; elbette gerçekte nem oranları, mevsimsel farklılıklar, meyvenin cinsi, kalitesi gibi birçok faktör bu çarpanın tam olarak sabit olmamasına neden olabilir. Ama problemimizin matematiksel modelinde bu oran sabittir.
Sık Karşılaşılan Hatalar ve Yanılgılar
-
(a, b) değerlerini yanlış yorumlama:
Bazı öğrenciler soruyu ilk okuduklarında “3^a = 216 mı kastediyor?” gibi düşüncelerle a’yı belirlemeye çalışabilir. Aslında problemde “a” değeri 3^a’nın 216 olacağı şekilde seçilmemiş olabilir. Sorudaki kilit nokta, 3^a’nın 3^(a−2)’ye oranlanmasından doğan 1/9 oranıdır. Yani a’nın tam değeri sorunun nihai cevabını değiştirmez, çünkü orantı sabittir. -
Oranı yanlış hesaplama:
3^(a−2) / 3^a = 3^(a−2−a) = 3^(-2) = 1/9. Burada üslü sayılarla işlem yaparken minik bir yanlışlık (örneğin 3^(a−2)/3^a = 3^2 demek gibi) tüm hesabı bozabilir. -
Temel bölme veya çarpma hataları:
- 216 / 9 = 24 gibi basit işlemlerde bazen hatalar yapılabilir.
- 245 / 7 = 35 işleminde de yine dikkatli olmak gerekir.
-
Karşılaştırma veya ekleme hatası:
Soru “küçük bir hile” içeriyor gibi görünse de aslında oldukça direkt. Bazı öğrenciler soruyu “toplam kuru meyve miktarı” istiyor diye yorumlayıp 24 + 35 = 59 kg bulur. Fakat burada iki ayrı sonuç var: Kuru üzüm ve kuru kayısı. Soru, “toplam kaç kg kuru üzüm ve kuru kayısı elde edilir?” dediğinde aslında iki farklı miktarı da ayrı ayrı sormuş olur. Kimisi sadece toplamı (24 + 35 = 59 kg) bulup soruda istenen her iki miktarı karıştırabilir. Soruda ifade “toplam kaç kg kuru üzüm ve kuru kayısı elde edilir?” biçiminde. Bu genelde “ikisi birlikte ne eder?” gibi algılanır, ama çoğu zaman problem, “kaç kg kuru üzüm ve kaç kg kuru kayısı” diye ayrı ayrı verileri de isteyebilir. Bu nedenle cevapta her ikisini de belirtmek en doğru yaklaşımdır.
Detaylı Matematiksel Arkaplan
Bu bölümde, soru için gerekli olmamakla birlikte, eksponansiyel (üslü) ifadelerin pratikte nasıl basitleştirildiğini ve oransal ilişkilerin neden bu şekilde çözüldüğünü daha akademik bir dille ele alacağız:
-
Üslü İfadelerin Bölünmesi:
Bir kural olarak, a^m / a^n = a^{m-n}. Bu kural, sabit tabana sahip (bu örnekte 3 ya da 7) üslü ifadelerin bölünmesinde kullanılır. -
Probleme Uygulanması:
- 3^a kg yaş üzüm → 3^(a−2) kg kuru üzüm. Ayırıcı nokta:\frac{3^{a-2}}{3^a} = 3^{(a-2)-a} = 3^{-2} = \frac{1}{9}.
- 7^b kg yaş kayısı → 7^(b−1) kg kuru kayısı. Ayırıcı nokta:\frac{7^{b-1}}{7^b} = 7^{(b-1)-b} = 7^{-1} = \frac{1}{7}.
Bu, bize yaş meyve/kuru meyve oranının her zaman 1/9 (üzümde) ve 1/7 (kayısıda) olduğunu açıklar.
- 3^a kg yaş üzüm → 3^(a−2) kg kuru üzüm. Ayırıcı nokta:
-
Proportion (Oran) Yöntemi:
“Oran” dediğimizde, bir büyüklüğün bir diğerine bölünmesiyle elde edilen sabiti anlarız. Üstelik matematikte orantı kavramı, lineer (doğrusal) bir bağlantı kurarak, “miktar iki katına çoğalırsa sonuç da iki katına çıkar” gibi doğrudan bir ilişkiye sahiptir. Burada 1/9 ve 1/7 bu ilişkileri temsil eder.
Benzer Problemlere Örnekler
-
Örnek Sorun 1:
“2^m kg yaş elma kurutulunca 2^(m−1) kg kuru elma elde edildiğine göre 1024 kg yaş elma kurutulursa kaç kg kuru elma elde edilir?”- Burada 2^m → 2^(m−1) durumu, oranın 1/2 olduğunu söyler.
- 1024’ü 2’ye bölerek sonuca varırız: 1024 / 2 = 512 kg kuru elma.
-
Örnek Sorun 2:
“5^n kg yaş incir kurutulduğunda 5^(n−3) kg kuru incir elde ediliyor. 125 kg yaş incir kurutulunca kaç kg kuru incir elde edilir?”- Oran: 5^(n−3) / 5^n = 5^(-3) = 1/125.
- 125 × (1/125) = 1 kg kuru incir elde edilir.
Bu örnekler, temel mantığın her zaman aynı kaldığını gösterir. Hangi sayıların geçtiği fark etmez; problem, orantı metoduyla kolayca çözülebilir.
Uygulamalı Adımların Aynı Problemde Tekrarı
Soruyu bir de daha cümle cümle yeniden kurgulayarak çözelim:
-
Verilen Bilgiler:
- 3^a kg yaş üzüm → 3^(a−2) kg kuru üzüm.
- 7^b kg yaş kayısı → 7^(b−1) kg kuru kayısı.
-
Oranların Bulunması:
- Üzüm Oranı: 3^(a−2) / 3^a = 1/9.
- Kayısı Oranı: 7^(b−1) / 7^b = 1/7.
-
Sorudaki Miktarlar:
- Yaş üzüm: 216 kg
- Yaş kayısı: 245 kg
-
Uygulama:
- 216 kg yaş üzüm → 216 × (1/9) = 24 kg kuru üzüm.
- 245 kg yaş kayısı → 245 × (1/7) = 35 kg kuru kayısı.
-
Cevap:
- 24 kg kuru üzüm
- 35 kg kuru kayısı
Bu problem, sadece orantıların bir çarpım işlemiyle netleştirilmesine dayanan tipik bir “oran ve orantı” uygulamasıdır.
Sonuç ve Özet
Bütün bu adımlardan sonra bu uzun açıklamayı birkaç cümlede toparlayacak olursak:
- 3^a kg yaş üzüm kurutulunca 3^(a−2) kg kuru üzüm elde edilmesi: taze üzümün kuru üzüme dönüşme oranının sabit ve 1/9 olduğunu gösterir.
- 7^b kg yaş kayısı kurutulunca 7^(b−1) kg kuru kayısı elde edilmesi: taze kayısının kuru kayısıya dönüşme oranının sabit ve 1/7 olduğunu gösterir.
- 216 kg yaş üzüm kurutulduğunda elde edilen kuru üzüm: 216 × (1/9) = 24 kg.
- 245 kg yaş kayısı kurutulduğunda elde edilen kuru kayısı: 245 × (1/7) = 35 kg.
Sorunun cevabı bu şekilde net olarak 24 kg kuru üzüm ve 35 kg kuru kayısıdır.
Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda problemde yer alan tüm kritik detaylar ve adımlar tek bir bakışta görülebilecek şekilde sunulmuştur:
| İşlem Adımı | Formül veya Açıklama | Uygulama Sonucu |
|---|---|---|
| 1. Oranı Belirleme (Üzüm) | 3^(a-2) / 3^a = 3^(-2) = 1/9 | Üzüm kuruma oranı 1/9’dur |
| 2. Oranı Belirleme (Kayısı) | 7^(b-1) / 7^b = 7^(-1) = 1/7 | Kayısı kuruma oranı 1/7’dir |
| 3. Yaş Üzüm Miktarı | 216 kg | |
| 4. Yaş Kayısı Miktarı | 245 kg | |
| 5. Kuru Üzüm Hesabı | 216 × (1/9) | 24 kg |
| 6. Kuru Kayısı Hesabı | 245 × (1/7) | 35 kg |
| 7. Sonuç | Kuru üzüm: 24 kg, Kuru kayısı: 35 kg |
Tablodan da görüldüğü gibi, adım adım düşünüldüğünde problem çok nettir.
Derinlemesine Değerlendirme (Yaklaşık 2000+ Kelimelik Geniş Analiz)
Bu bölümde, konuyu hem pedagojik açıdan hem de matematiksel beceri geliştirme açısından iyice açmayı amaçlıyoruz. Böylelikle problem, sadece bir “formül uygulama” olmaktan çıkıp öğrencilerin bütünsel şekilde konuyu kavramasını sağlayacak bir zemin hazırlayacaktır.
-
Matematiksel İçgörü:
Matematikte her yeni konu, eski bilgiyle bağlantılıdır. Üslü sayılar ve orantı kavramları, ortaokul ve lise müfredatında sıkça yer alan konulardır. Bir öğrenci, “3^a kg yaş üzüm → 3^(a−2) kg kuru üzüm” yazdığında, orada bir üslü sayıdan diğerine geçiş olduğunu ve bu geçişin oran bazında incelendiğini görür. Böylece üslü ifadelerle orantı işlemlerini içselleştirir. -
Orantı Yöntemi ve Uygulamaya Yansıması:
Orantı, gündelik hayatta da sık sık karşımıza çıkar. Örneğin, 1 kg zeytinden ortalama 0,2 kg zeytinyağı elde ediliyorsa (yüzde 20 verim), 5 kg zeytinden 1 kg zeytinyağı elde edileceğini otomatik olarak biliriz. Burada tüm mantık, oranın sabitliği üzerine kuruludur. Bu problem de aynen böyledir.- Üzümde, oranın “1/9” olması demek, her 9 kg yaş üzümden 1 kg kuru üzüm elde edildiği anlamına gelir.
- Kayısıda, oranın “1/7” olması demek, her 7 kg yaş kayısıdan 1 kg kuru kayısı elde edildiği anlamına gelir.
-
Problem Kurulumu ve Öğrencinin Karşılaştığı Zorluklar:
Bazı öğrenciler, “acaba 216 mutlaka 3^a formuna mı dönüştürülmeli?” gibi bir yanılgıya kapılabilir. 216 gerçi 6^3 = 216’dır, 3^3 = 27, 3^4 = 81, 3^5 = 243… Yani tam olarak 3’ün bir tam kuvveti 216’ya eşit değildir. Dolayısıyla a’yı bulmaya çalışmak gereksiz ve hatta mümkün de değildir (3^5 243 yapar). Bu nedenle sorudaki “3^a” ifadesi sizi yanıltmamalıdır. Orada önemli olan 3^(a−2)’nin 3^a’ya oranıdır. Teknik olarak 3^a / 3^(a−2) = 9 demek 3^a = 9 × 3^(a−2). Ama sorunun özünde bu tür manipülasyonlar gerektiren bir durum yoktur; sadece oranın 1/9 olduğu bilgisini kullanırız. -
Pedagojik Öneriler:
- Öğrencilere bu tarz bir soru verildiğinde, önce hangi oranın sabit olduğunu bulmaları öğretilmelidir.
- Oranı bulduktan sonra, ellerindeki miktarla çarpıp sonucu elde etmelidirler.
- Sonucu kontrol etmek için zihinden bölme/çarpma alıştırmaları yapılabilir.
-
Gerçek Hayat Bağlantısı:
- Kurutma işlemleri, meyvelerin su içeriğinin neredeyse tamamını uzaklaştırır. Gerçek hayatta “yaş meyve – kuru meyve” oranları belli bir tahmin edilebilir aralıkta olsa da, her parti meyvede farklı olabilir.
- Soruda kullanılan 1/9 ve 1/7 değerleri, tek tip bir varsayıma dayanır. Yani bu, “Tüm üzümlerde bu oran geçerlidir” veya “Tüm kayısılarda bu oran geçerlidir” diye bir reel gerçeğin ifadesi değil, yalnızca problemdeki kurgudur.
-
Sınav Hazırlığı için Tavsiyeler:
- Bu tip sorularda, işin içine üslü sayıların orantısı giriyorsa, önce sadeleştirme yapılmalıdır.
- Bir kez oranın ne olduğunu keşfettikten sonra geriye basit çarpma/bölme kalır.
- Panik yapılacak bir durum değil; sadece oranın sabit olduğunu anlamak yeterlidir.
-
Son Kontrol:
- 216 kg yaş üzüm, 24 kg kuru üzüm oldu mu? (216 / 9 = 24)
- 245 kg yaş kayısı, 35 kg kuru kayısı oldu mu? (245 / 7 = 35)
- Bu sonuçlar mantıklı mı? Evet, 216’nın 9’da biri 24, 245’in 7’de biri 35.
-
Elde Edilen Kazanımlar:
- Öğrenci, üslü ifadelerde bölme yapmayı tekrar etmiş oldu.
- Öğrenci, orantı kavramını (proportional reasoning) daha iyi kavradı.
- Basit dört işlem uygulaması yapılmış oldu.
- Problemin biraz “göz korkutucu” ifadesi (3^a, 3^(a−2), 7^b, 7^(b−1) gibi) aslında basit bir sonuca varmaya hizmet ediyor.
Böylece, 2000 kelimeye yaklaşan ve hatta aşan kapsamlı bir anlatımla, sorunun hem çözümü hem de ilgili tüm ayrıntıları tartışılmış oldu.
Nihai Cevabın Açık İfadesi
-
216 kg yaş üzüm kurutulduğunda elde edilen kuru üzüm miktarı:
216 × (1/9) = 24 kg. -
245 kg yaş kayısı kurutulduğunda elde edilen kuru kayısı miktarı:
245 × (1/7) = 35 kg. -
Toplamda elde edilen kuru meyveler:
- Kuru üzüm: 24 kg
- Kuru kayısı: 35 kg
Sorudaki ifadeyle tam olarak cevaplamak gerekirse: “216 kg yaş üzüm ile 245 kg yaş kayısı kurutulunca toplam 24 kg kuru üzüm ve 35 kg kuru kayısı elde edilir.”
Kaynak / Referanslar:
- Ortaöğretim Matematik Müfredatı (Milli Eğitim Bakanlığı)
- Temel Üslü Sayılar ve Orantı Konuları (Ortaokul – Lise Düzeyi)
- Deneysel olarak ölçülen ortalama meyve kuruma oranları hakkında genel bilgiler (Akademik çalışmalar, gıda teknolojisi alanında çeşitli makaleler)