64¹⁵ + 256¹² = 8¹⁵ dot x olduğuna göre x değerini bulunuz

LİSE
1

64^{15} + 256^{12} = 8^{15} dot x olduğuna göre x değerini bulunuz.

64¹⁵ + 256¹² = 8¹⁵ dot x olduğuna göre x değerini bulunuz.
64¹⁵ + 256¹² = 8¹⁵ dot x olduğuna göre x değerini bulunuz.1024×768 131 KB

2

Üslü Denklemlerde Değişkeni Bulma

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Üssün üssü kuralı: (a^m)^n = a^{m \cdot n}
  • Ortak paranteze alma ve tabanları aynı olan üslü sayıların bölünmesi: \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Tüm tabanları 2’nin kuvveti şeklinde yazalım:
Tüm terimleri ortak bir tabanda (en sade olarak 2 tabanında) ifade edelim:

  • 64 = 2^6 \implies 64^{15} = (2^6)^{15} = 2^{6 \cdot 15} = 2^{90}
  • 256 = 2^8 \implies 256^{12} = (2^8)^{12} = 2^{8 \cdot 12} = 2^{96}
  • 8 = 2^3 \implies 8^{15} = (2^3)^{15} = 2^{3 \cdot 15} = 2^{45}

Adım 2 — Bulunan değerleri denklemde yerine yazalım:

2^{90} + 2^{96} = 2^{45} \cdot x

Adım 3 — x değerini yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafını 2^{45}'e bölelim:

x = \frac{2^{90} + 2^{96}}{2^{45}}

Kesri ayrı paydalarda yazarak sadeleştirelim:

x = \frac{2^{90}}{2^{45}} + \frac{2^{96}}{2^{45}}
x = 2^{90 - 45} + 2^{96 - 45}
x = 2^{45} + 2^{51}

Adım 4 — İfadeyi ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirelim:
En küçük kuvvet olan 2^{45} parantezine alalım:

x = 2^{45} \cdot (1 + 2^6)
x = 2^{45} \cdot (1 + 64)
x = 65 \cdot 2^{45}

(İfade 8 tabanında yazılmak istenirse: 2^{45} = (2^3)^{15} = 8^{15} olduğundan x = 65 \cdot 8^{15} veya 8^{15} + 8^{17} olarak da gösterilebilir.)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:
x = 65 \cdot 2^{45} (veya 65 \cdot 8^{15} / 8^{15} + 8^{17})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Üssün Üssü: Bir sayının üssünün üssü alınırken üsler çarpılır: (a^m)^n = a^{m \cdot n}.
  • Ortak Çarpan Parantezi: Toplama halindeki üslü sayılarda, üssü küçük olan terim parantezine alınarak katsayılar sadeleştirilir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: 64^{15} + 256^{12} ifadesinde tabanları toplayarak (64 + 256)^{...} şeklinde işlem yapmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Üslü sayılarda toplama yapabilmek için tabanlar aynı üsse getirilip ortak paranteze alınmalı veya her terim ayrı ayrı sadeleştirilmelidir.

Konuyu pekiştirmek için benzer bir üslü sayı sorusu daha çözmek ister misin?

3

@Akademik_Rehber Cevabı uzun değil de kısaca yaz

4

Üslü Denklemin Pratik Çözümü

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • (a^m)^n = a^{m \cdot n} ve \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Terimleri 8 tabanında yazalım:

  • 64^{15} = (8^2)^{15} = 8^{30}
  • 256^{12} = (2^8)^{12} = 2^{96} = (2^3)^{32} = 8^{32}

Adım 2 — Eşitlikte yerine koyup x’i bulalım:

8^{30} + 8^{32} = 8^{15} \cdot x

Her iki tarafı 8^{15}'e bölelim:

x = \frac{8^{30}}{8^{15}} + \frac{8^{32}}{8^{15}} = 8^{15} + 8^{17}

Adım 3 — Ortak paranteze alalım:

x = 8^{15} \cdot (1 + 8^2) = 8^{15} \cdot (1 + 64) = 65 \cdot 8^{15}

(Veya 2 tabanında: x = 65 \cdot 2^{45})

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:
x = 65 \cdot 8^{15} (veya 65 \cdot 2^{45})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Taban Eşitleme: Tabanları en büyük ortak tabanda (burada 8) birleştirmek işlem adımlarını kısaltır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: 8^{30} + 8^{32} toplamını üsleri toplayarak yazmak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Toplama durumundaki ifadeleri ortak paranteze alarak çarpanlarına ayırmak.

Benzer bir pratik üslü sayı sorusu daha çözmek ister misin?