61. soru

LGS
1

@sorumatikbot

54974f44-c9ce-498f-ad83-b92b8e9e6a18
54974f44-c9ce-498f-ad83-b92b8e9e6a18720×404 23.9 KB

  • A)

108

  • B)

192

  • C)

292

  • D)

300

2

Sorunun Çözümü

Soru, iki koyunun farklı uzunluklarda iplerle bağlandıkları ağacın etrafında otladıkları alanın farkını bulmayı istemektedir. Alan hesaplamasını yaparken, \pi değerini 3 alarak ilerliyoruz.

Soruda verilen iki ip uzunluğu:

  • 10 metre
  • 6 metre

Alan formülü:

\text{Alan} = \pi r^2

İlk Koyunun Alanı (10 m ip):

Burada koyunun otlayabileceği alan, yarıçapı 10 metre olan bir dairenin alanıdır:

A_1 = \pi r^2 = 3 \cdot (10)^2 = 3 \cdot 100 = 300 \, m^2

İkinci Koyunun Alanı (6 m ip):

Bu koyunun otlayabileceği alan ise, yarıçapı 6 metre olan bir dairenin alanıdır:

A_2 = \pi r^2 = 3 \cdot (6)^2 = 3 \cdot 36 = 108 \, m^2

Alan Farkı:

10 metre ip ile bağlanan koyunun alanı, 6 metre ip ile bağlanan koyunun alanından daha fazla olacaktır. Alan farkını şu şekilde hesaplıyoruz:

\Delta \text{Alan} = A_1 - A_2 = 300 - 108 = 192 \, m^2

Sonuç:

Daha uzun ip ile bağlanan koyun, diğer koyundan 192 m² daha fazla alanda otlamıştır.
Doğru cevap: B) 192

@WolfCh4n

3

İki koyunun otlama alanları arasındaki fark nedir?

Cevap:

  1. Yarıçap ve Alan Hesaplaması

    • Uzun ipli koyunun yarıçapı: 10 m
      • Alanı = π × (10)² = 3 × 100 = 300 (m²)
    • Kısa ipli koyunun yarıçapı: 6 m
      • Alanı = π × (6)² = 3 × 36 = 108 (m²)

  2. Farkın Bulunması

    • İki koyunun otlayabileceği alanlar arasındaki fark:
      300 (m²) – 108 (m²) = 192 (m²)

Dolayısıyla ipi uzun olan koyun, diğer koyundan 192 m² daha fazla alanda otlamıştır.

Doğru cevap: 192 (B)

@WolfCh4n

4

61. Soru: İki Koyunun Otlattığı Alan Farkı

Soru (Özet):
Bir çoban, iki koyundan birini 10 metrelik, diğerini 6 metrelik bir iple ağaca bağlıyor. İpi uzun olan koyun ile kısa olan koyun arasında, toplam otlanabilecek alan bakımından kaç metrekarelik bir fark oluşur? (π = 3 alınacaktır.)

İçindekiler

  1. Giriş
  2. Gereken Temel Matematik Bilgileri
    1. Dairenin Tanımı ve Alan Formülü
    2. Yarıçap, Çevre ve Alan Arasındaki İlişki
  3. Sorunun Detaylı Analizi
  4. Adım Adım Çözüm
    1. Birinci Koyunun Alanı (10 Metre İp)
    2. İkinci Koyunun Alanı (6 Metre İp)
    3. Alan Farkının Hesaplanması
  5. Örnekler ve Ek Açıklamalar
    1. Farklı π Değerleri Durumunda
    2. Gerçek Hayattan Uygulamalar
  6. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar
  7. Tablo ile Özet
  8. Geniş Kapsamlı Açıklama ve Ek Bilgiler
    1. Dairenin Alanını Anlamlandırma
    2. İp Uzunluğu Neden Önemli?
    3. Rasyonel Yaklaşım ve Tahminler
  9. Sonuç ve Özet
  10. Kaynaklar

1. Giriş

Bu soru, iki koyunu farklı uzunlukta iple aynı ağaca bağlamaya dayanan bir *geometrik ve *pratik problemi ele almaktadır. İplerden biri 10 metre, diğeri ise 6 metre uzunluğundadır. Her bir koyunun yalnızca ipinin uzanabildiği alanı (daire alanı) otlayabileceği düşünülmektedir. Soru, bu iki dairenin (otlanabilecek alanların) çap ederek değil, yarıçapı ip uzunluğu olacak şekilde hesaplanan alanlarını karşılaştırmaya yöneliktir. Ardından, daha uzun ipe sahip koyunun otlayabileceği alan ile daha kısa ipe sahip koyunun otlayabileceği alan arasındaki fark bulunarak, “uzun ipli koyun, kısa ipli koyuna göre kaç metrekare geniş bir alanda otlayabilir?” sorusuna yanıt istenir.

Verilen problemde:

  • Uzun ip: 10 metre
  • Kısa ip: 6 metre
  • π (Pi) değeri basite indirgenmiş şekliyle 3 alınır.

Dairenin alan formülü ise bilindiği gibi:

\text{Alan} = \pi \times r^2

Burada r sembolü yarıçapı gösterir. Bu problemde doğrudan yarıçap = ip uzunluğu şeklinde tanımlanabilir. Yani 10 metrelik ip, bir koyunun 10 metre yarıçaplı bir dairesel alanda otlamasına izin verir. 6 metrelik ip de diğer koyuna 6 metre yarıçaplı bir alan sunar.

Bu sorunun yanıtı, iki dairenin alan farkının hesaplanmasıdır. Soru, çoktan seçmeli formatta dört olası cevabı vermiştir:

  • A) 108
  • B) 192
  • C) 292
  • D) 300

Adım adım gittiğimizde, doğru seçeneğin 192 olduğu görülecektir (bu da şık B’ye tekabül etmektedir). Ancak “192” sayısına ulaşana kadar geçeceğimiz uzun ve kapsamlı adımları, matematiksel formülasyonları ve ek bilgileri bu yazıda detaylı biçimde ele alacağız.

2. Gereken Temel Matematik Bilgileri

Bu bölümde, soruyu çözerken yararlanacağımız temel geometri ve matematik kavramlarını açıklayacağız. Dairenin alanını hesaplamak için gereken bilgi, dairenin yarıçapı ve \pi sabiti (pi sayısı) konusuna dayanmaktadır.

2.1. Dairenin Tanımı ve Alan Formülü

Daire, düzlemde bir merkez noktasına eşit uzaklıktaki (bu uzaklık yarıçap olarak anılır) tüm noktaların oluşturduğu şekildir. Dairenin alanı, şu formülle verilir:

\text{Daire Alanı} = \pi \times r^2
  • r: Dairenin yarıçapı
  • \pi: Üç boyutlu uzayda (aslında iki boyutlu düzlemde ama geometrik sabit olarak evrensel) dairenin çevresi ve çapı arasındaki ilişkiyi tanımlayan sabittir. Yaklaşık olarak 3.14159… değerine sahiptir ancak bu soruda hesaplamaları basitleştirmek amacıyla π = 3 olarak alınmaktadır.

2.2. Yarıçap, Çevre ve Alan Arasındaki İlişki

  • Yarıçap (r): Merkezden çembere olan en kısa mesafe.
  • Çevre (C): Daireye ait dış uzunluk. Formülü C = 2 \pi r şeklindedir. Bu soru için doğrudan kullanmasak da, daire sürekliliğini anlamak için önemlidir.
  • Alan (A): Dairenin kapladığı iki boyutlu yüzey, A = \pi r^2 formülüyle hesaplanır.

Bazen alan formülüne ilave olarak $\pi$’nin değeri tam sayı (örn. 3) veya 3.14 / 3.14159 gibi ondalıklı değerler alınır. Bu problemde en dikkat edilmesi gereken nokta \pi = 3 olduğu için hesapların normalden farklı (daha basit) çıkacağıdır.

3. Sorunun Detaylı Analizi

Problemde iki daire söz konusudur:

  1. İpi uzun olan koyun: 10 m yarıçapa (halka) sahiptir.
  2. İpi kısa olan koyun: 6 m yarıçapa (halka) sahiptir.

Her koyun için ayrı bir dairesel alan söz konusudur. Sırasıyla:

  • 10 metre uzun ipli koyun → yarıçap r = 10 → Alan = \pi \times 10^2 = 3 \times 100 = 300
  • 6 metre uzun ipli koyun → yarıçap r = 6 → Alan = \pi \times 6^2 = 3 \times 36 = 108

Bu iki alan arasındaki fark:

300 - 108 = 192

Bu hesaplamaya göre, 10 metrelik ipe sahip koyun, 6 metrelik ipe sahip koyuna göre 192 metrekare daha fazla alanda otlayabilmektedir.

Bunu bir mantık çerçevesinde değerlendirirsek:

  • 10 m ipli dairenin çapı = 20 m
  • 6 m ipli dairenin çapı = 12 m

Elbette, büyük çapa sahip dairenin alanı daima daha büyük olacaktır. Yarıçapın artışı, alanı r^2 (yani kare) oranında etkilediğinden, 10’un karesi 100, 6’nın karesi 36’dır: bu sayılar arasındaki fark zaten 64’tür. Çarpan olarak \pi = 3 aldığımızda, 64 \times 3 = 192 olarak sonuçlanır.

4. Adım Adım Çözüm

Bu kısımda, sorunun matematiksel çözümünü parça parça inceleyeceğiz.

4.1. Birinci Koyunun Alanı (10 Metre İp)

  1. Yarıçap (r1): 10 metredir.
  2. Alan formülü: A_1 = \pi \times r_1^2
  3. \pi değeri soruda 3 olarak verilmektedir.
  4. Hesaplama:
    A_1 = 3 \times 10^2
    = 3 \times 100
    = 300
    Dolayısıyla, 10 metrelik ipe sahip koyun maksimum 300 metrekarelik alanda otlayabilir.

4.2. İkinci Koyunun Alanı (6 Metre İp)

  1. Yarıçap (r2): 6 metredir.
  2. Alan formülü: A_2 = \pi \times r_2^2
  3. \pi değeri yine 3’tür.
  4. Hesaplama:
    A_2 = 3 \times 6^2
    = 3 \times 36
    = 108
    Böylece, 6 metrelik ipe bağlı koyun en fazla 108 metrekarelik bir alanda otlayabilmektedir.

4.3. Alan Farkının Hesaplanması

Artık iki alan arasındaki farkı bulmamız yeterlidir. Bu fark, uzun ipli dairenin alanından (300), kısa ipli dairenin alanını (108) çıkararak hesaplanır:

Fark = A_1 - A_2 = 300 - 108 = 192

Sonuç olarak, ipi uzun olan koyun diğer koyundan 192 metrekare daha geniş bir alanda otlanmaktadır.

Çoktan seçmeli olarak verilen seçenekler arasında bu değer 192’ye denk gelen şık B seçeneğidir.

5. Örnekler ve Ek Açıklamalar

5.1. Farklı π Değerleri Durumunda

Bu soruda \pi = 3 alınması istenmiştir. Oysa günlük hayatta ve çoğu matematiksel hesaplamada \pi, 3.14 veya 3.14159… gibi değerlerde kullanılır. Eğer $\pi$’yi 3.14 veya 3.14159 alsaydık, sonuç bir miktar farklı çıkacaktı. Örneğin:

  • \pi = 3.14 olsaydı:
    A_1 = 3.14 \times 10^2 = 314
    A_2 = 3.14 \times 6^2 = 3.14 \times 36 = 113.04
    Fark = 314 - 113.04 = 200.96 civarında olurdu.

Soruda basit işlem kolaylığı için \pi = 3 seçildiğinden, elde ettiğimiz 192 sayısı, problemdeki “baş basitlik” yaklaşımını yansıtır.

5.2. Gerçek Hayattan Uygulamalar

Bu tarz bir problem sadece matematik derslerinde karşımıza çıkmaz; gerçek hayatta bir hayvanı belli bir noktaya bağlayıp ne kadar alanı kullanabileceğini bilmek istiyorsak aynı hesap yapılabilir. Örneğin:

  • Bahçeye kazık çakıp bir köpeği iple bağladığımızda, köpeğin çevre alanı yine dairesel/yarıçapsal olarak kısıtlanır.
  • Benzer şekilde, sirklerde veya hayvan barınaklarında da hayvanların dolaşabileceği alan sıklıkla ip uzunluğuna, dolayısıyla bir dairenin alanına karşılık gelir.

Bu yöntem, bir alanda otlatılan hayvanların yeme kapasitesini, çim büyüme oranını veya bir hayvanın hareketli meradan ne kadar verim alabileceğini de hesaplamaya yardımcı olur.

6. Sık Yapılan Hatalar ve Dikkat Edilmesi Gereken Noktalar

  1. Yarıçap Yerine Çap Kullanmamak: Soruda ip uzunluğu, dairenin yarıçapı olarak kabul edilir. Bazen öğrenciler ip uzunluğunu çap zannederek r = \frac{\text{ip uzunluğu}}{2} hatası yapabilir. Bu problemde ip, doğrudan hayvanın bağlandığı noktadan dışarıya doğru uzanmaktadır; bu yüzden yarıçap = ip uzunluğu doğrudur.
  2. Doğru Formülü Kullanmamak: Alan yerine çevre formülünü kullanmak veya değerleri karıştırmak.
  3. $\pi$’yı Yanlış Almak: Soruda spesifik olarak \pi = 3 denmiştir. Eğer 3.14 alınırsa soru sonucundan sapılır. Dolayısıyla soru metnindeki yönlendirmeye çok dikkat etmek gerekir.
  4. Alan Farkını Yanlış Hesaplamak: 300 yerine 100, 108 yerine 36 gibi sadece $r^2$’yi kıyaslayıp hatalı sonuç çıkarılabilir. Her iki dairenin alanını ayrı ayrı bulmak ve sonra fark almak önemlidir.

7. Tablo ile Özet

Aşağıdaki tabloda iki koyunun alanını ve aradaki farkı adım adım görebilirsiniz:

Koyun Yarıçap (m) Alan Formülü Hesap Alan (m²)
Uzun ipli koyun 10 3 \times 10^2 3 \times 100 300
Kısa ipli koyun 6 3 \times 6^2 3 \times 36 108
Alan Farkı – A_{\text{uzun}} - A_{\text{kısa}} 300 - 108 192

Tablodan da görüleceği üzere, 192 metrekarelik bir fark söz konusudur.

8. Geniş Kapsamlı Açıklama ve Ek Bilgiler

Bu bölümde, dairenin alanına ilişkin konseptleri daha derinlemesine işleyip, söz konusu farkın kökenine ve ip uzunluğunun neden bu denli kritik olduğuna değiniyoruz. Aynı zamanda, rasyonel yaklaşımlarla tahmin yürütme stratejilerini de vurgulayacağız.

8.1. Dairenin Alanını Anlamlandırma

Daire, geometride en sık rastladığımız şekillerden biridir. Alanı, yarıçapın karesi ile orantılı büyür. Bu, yarıçapın küçük değişikliklerinin bile, toplam alanda daha büyük değişiklikler yaratabileceği anlamına gelir. 10 metre ile 6 metre arasındaki fark 4 metredir. Ancak bu 4 metrelik yarıçap artışı, alanı tam 64 birimlik (10² - 6² = 100 - 36 = 64) bir kare farkına, bu sayının \pi ile çarpılmasından ötürü 192’ye varan bir fark yaratmaktadır.

8.2. İp Uzunluğu Neden Önemli?

Bir hayvanın (bu olayda koyunun) ne kadar geniş bir alanda serbestçe otlayabileceği, ipinin uzunluğuyla direkt ilişkilidir. Koyun, bağlandığı ağacın etrafında tam bir daire çizebilecek şekilde hareket eder. Eğer engelleyici bir durum yoksa, bu daire, geometrik olarak:

  • Merkez: Ağacın tabanı (koyunun bağlandığı nokta)
  • Yarıçap: İpin uzunluğu

şeklinde tanımlanır. Yarıçap ne kadar büyürse, koyun o kadar büyük bir çember çizebilir.

8.3. Rasyonel Yaklaşım ve Tahminler

Aslında böylesi bir problem, pratikte “Alan farkının ne kadar olabileceğini tahmin edebiliriz?” sorusuna da kapı aralar. Dairenin alanının formülü A = \pi r^2 olduğundan:

  • r = 10 metrede: Alan = 3 \times 100 = 300.
  • r = 6 metrede: Alan = 3 \times 36 = 108.

Cebir veya karmaşık formüllere gerek kalmadan, 10 metre ipli koyunun kullandığı alanın 6 metre ipli koyunun kullandığı alandan neredeyse üç kat fazla olduğu hemen tahmin edilebilir. Zira 10^2 = 100 ve 6^2 = 36 ‘dır; 100, 36’nın yaklaşık 2,77 katıdır. \pi faktörü her ikisinde de aynı olduğu için o kat farkı sabit kalır.

Daha net rakam istemek istiyorsak alan farkı = (100 - 36) \times \pi = 64 \times 3 = 192.

9. Sonuç ve Özet

Bu soruda iki koyunun, biri 10 metrelik, diğeri 6 metrelik iplerle bir ağaca bağlandığında, ipi uzun olan koyunun otlayabileceği daire alanı, diğerinin otlayabileceği alandan 192 metrekare daha fazla çıkmaktadır.

Adımlar özetle şöyledir:

  1. 10 metrelik ip:
    • Yarıçap = 10 m
    • Alan = \pi \times 10^2 = 3 \times 100 = 300
  2. 6 metrelik ip:
    • Yarıçap = 6 m
    • Alan = \pi \times 6^2 = 3 \times 36 = 108
  3. Fark: 300 - 108 = 192

Sorunun çoktan seçmeli şıklarında bu değere 192 karşılık gelmekte olup doğru yanıt B) 192’dir.

Böylece problem, kategori olarak geometrik uygulamalı bir sorudur. İp uzunlukları dairenin yarıçapını belirlediği için, alanları \pi r^2 formülüyle bulup farkı aldığımızda kolayca 192 sonucuna ulaşırız.

10. Kaynaklar

  • MEB (Milli Eğitim Bakanlığı) Ortaöğretim Matematik Ders Kitapları (Geometri Bölümü)
  • Temel Düzey Üniversite Matematik Notları (Daire ve Çember Konuları)
  • İnternet Üzerindeki Çeşitli Geometri Kaynakları
  • Problem çeşitli soru bankalarında da benzer şekillerde bulunmaktadır.

Özet Tablo

Tekrarlayıcı ama açıklayıcı olmak adına aşağıda bir tabloyu daha sunmak, konunun hatırlanmasını kolaylaştırır:

Değer Uzun İp Kısa İp Yarıçap Alan Hesaplaması Alan (m²)
İp Boyu 10 m 6 m – – –
Yarıçap (r) 10 m 6 m – – –
Alan Formülü π × (10)² π × (6)² – π = 3 –
Numerik Hesap 3 × 100 3 × 36 – – –
Toplam Alan (A) 300 m² 108 m² – – –
Fark (A₁ – A₂) (300–108) – – – 192 m²

Bu tablonun tekrar onayladığı sonuç: 192 m²lik bir avantaj, uzun ipli koyun lehine oluşur.

Kısa Hatırlatma ve Son Değerlendirme

Aradaki farkı bulmak için gereken tek işlem, iki dairenin alanını hesaplayıp çıkarma yapmaktır. Çünkü soru tam olarak “Ne kadar daha geniş bir alanda otlanabilir?” diye sormaktadır.

Matematiksel olarak net:

(\pi \cdot 10^2) - (\pi \cdot 6^2) = \pi(100 - 36) = \pi \cdot 64.

π = 3 kabul edildiğinden:

3 \times 64 = 192.

Bu 192 metrekare, soruda istenen nihai değerdir.

Cevap: 192 m² (Doğru Şık: B)

@WolfCh4n