- aveb tam saylar
2-b- 2
olduğuna göre. 6 b en s kátr
A)1 - at,sR
a’so
glduouns gre. s. b ve s’nie lsursteri srans lie
Bsadahlerden hagside’
9),4 - m,nE N ulmak üznte
2m
+3n =21
egitliğinl saglayan gn b0yük n dogert kacur?
A) 17
B) s0 cys
E)+t
abillr?
E) 14
14, a,b, 6 salndan tark garpl aaynt
ifadesi sşağıdaki dagererden hangjsi olamaz? - Kvz biér cuzitk tsm sayit
w = 48
=60
a gộre, x.yg itedesinin alablleccğl mininwm
Dy240
E 9E0
Dldl
dağar k
AL 120
B; 1990
C483
E) 80
b çit saylar olinak rers
asağıdaki
a ve
dakilerden hanglsl her zaman tok sayıcir?
A) Bb
D) ab +1
a-t+2
olduğiuns gäre, z kaçhe?
4437+61
a^2 \cdot b = 72 Eşitliğinde a + b Toplamının En Küçük Değerini Bulma
KULLANILAN KURAL / TANIM:
Bir çarpımın sonucunun pozitif bir tam sayı olması durumunda, tam kare olan çarpan (a^2) daima pozitif (\ge 0) olacağından, diğer çarpan (b) kesinlikle pozitif olmalıdır (b > 0). a + b toplamının en küçük (minimum) değerini bulmak için a negatif tam sayı seçilmeli ve mutlak değeri olabildiğince büyük tutulurken, b pozitif tam sayısı olabildiğince küçük seçilmelidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — a^2 ve b Değerlerinin İşaretlerini Belirleme
a^2 \cdot b = 72 eşitliğinde:
- a \in \mathbb{Z} ve a \neq 0 olduğundan a^2 > 0’dır.
- Çarpım sonucu pozitif (72) olduğundan, b > 0 olmak zorundadır (b negatif olamaz).
- a + b toplamını en küçük yapmak için a’yı en küçük (en negatif), b’yi ise en küçük pozitif değerde seçmeliyiz.
Adım 2 — 72’nin Tam Kare Bölenlerini İnceleme
72 sayısının pozitif tam kare bölenleri (a^2 değerleri) şunlardır:
- a^2 = 1 \implies a = -1 veya a = 1 \implies b = \frac{72}{1} = 72
- a^2 = 4 \implies a = -2 veya a = 2 \implies b = \frac{72}{4} = 18
- a^2 = 9 \implies a = -3 veya a = 3 \implies b = \frac{72}{9} = 8
- a^2 = 36 \implies a = -6 veya a = 6 \implies b = \frac{72}{36} = 2
Adım 3 — Olası a + b Değerlerini Hesaplama
En küçük değerleri elde etmek için a’nın negatif değerlerini değerlendirelim:
- a = -1 ve b = 72 \implies a + b = -1 + 72 = 71
- a = -2 ve b = 18 \implies a + b = -2 + 18 = 16
- a = -3 ve b = 8 \implies a + b = -3 + 8 = 5
- a = -6 ve b = 2 \implies a + b = -6 + 2 = -4
Hesaplanan değerler arasında en küçük olan -4’tür.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) -4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tam Sayılar Kümesi (\mathbb{Z})
- Tanım: Sıfır, pozitif ve negatif doğal sayıların tamamını kapsayan kümedir (\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}).
- Bu problemde: a sayısının negatif bir tam sayı seçilebilmesi, toplamın sonucunu negatife çekerek minimum değeri bulmamızı sağlamıştır.
2. Çift Kuvvetlerin İşareti
- Tanım: Sıfırdan farklı her reel sayının çift kuvveti daima pozitiftir (a \neq 0 \implies a^2 > 0).
- Bu problemde: a = -6 iken a^2 = (-6)^2 = 36 olur ve eşitliği sağlar.
SIK YAPILAN HATALAR:
a’yı Yalnızca Pozitif Sayı Olarak Düşünmek
- Yanlış: a = 6 ve b = 2 alıp a + b = 8 bulmak ya da a = 1, b = 72 ile işlem yapmak.
- Doğru: Soruda a ve b için “pozitif tam sayı” değil, “tam sayı” denmektedir. Dolayısıyla a negatif değerler alabilir.
- Neden Yanlış: Negatif tam sayılar göz ardı edildiğinde minimum toplam değeri hatalı bulunur.
b’yi Negatif Seçmeye Çalışmak
- Yanlış: a^2 = 36 \implies b = -2 seçip a^2 \cdot b = -72 yapmak.
- Doğru: a^2 \ge 0 olduğundan, b mecburen pozitif (b = 2) olmak zorundadır.
- Neden Yanlış: İki sayının çarpımı +72 olduğundan ve a^2 negatif olamayacağından b negatif olamaz.
Sayfadaki 10, 11 veya diğer soruların da detaylı çözümlerini adım adım yapmamı ister misin?
2m + 3n = 21 Eşitliğini Sağlayan En Büyük n Doğal Sayı Değerini Bulma
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
m, n \in \mathbb{N} (Doğal Sayılar Kümesi: \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}) olmak üzere; 2m + 3n = 21 denkleminde n’nin en büyük değerini alabilmesi için, m değişkenine verilebilecek en küçük doğal sayı değeri verilmelidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkeni Yalnız Bırakma ve Koşulu İnceleme
n değerini m cinsinden ifade edelim:
3n = 21 - 2m \implies n = \frac{21 - 2m}{3}
- n’nin en büyük (maksimum) olması için 2m ifadesi en küçük olmalıdır.
- m \in \mathbb{N} olduğundan m’nin alabileceği en küçük değer 0’dır.
Adım 2 — En Küçük m Değerini Yerine Yazma
m = 0 değerini denklemde yerine yazalım:
2(0) + 3n = 21
0 + 3n = 21
3n = 21
Adım 3 — n Değerini Hesaplama ve Doğrulama
Her iki tarafı 3’e bölelim:
n = \frac{21}{3} = 7
- m = 0 \in \mathbb{N} (Doğal sayı)
- n = 7 \in \mathbb{N} (Doğal sayı)
Koşullar sağlandığından n’nin alabileceği en büyük değer 7’dir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğal Sayılar Kümesi (\mathbb{N})
- Tanım: Sıfırdan başlayıp sonsuza kadar birer birer artarak giden sayılar kümesidir (\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}).
- Bu problemde: 0’ın bir doğal sayı olduğu kuralı kullanılarak m = 0 seçilmiş ve n en büyük değerine ulaştırılmıştır.
2. Doğrusal Diophant Denklemleri Mantığı
- Tanım: ax + by = c biçimindeki tamsayı/doğal sayı katsayılı denklemlerdir.
- Bu problemde: Bir değişken artarken diğeri katsayılar oranında azalır (m, 3’er 3’er artarken; n, 2’şer 2’şer azalır: (m,n) \in \{(0,7), (3,5), (6,3), (9,1)\}).
SIK YAPILAN HATALAR:
Sıfırı Doğal Sayı Olarak Kabul Etmemek
- Yanlış: En küçük doğal sayıyı 1 alıp m = 1 \implies 3n = 19 (tam bölünmez) diyerek m = 3 \implies n = 5 bulmak.
- Doğru: Doğal sayılar kümesi 0’ı içerir. m = 0 seçildiğinde n = 7 elde edilir.
- Neden Yanlış: Pozitif doğal sayılar (\mathbb{N}^+) ile doğal sayılar (\mathbb{N}) kümeleri karıştırıldığında en büyük değer eksik bulunur.
- sorunun (x \cdot y = 48, y \cdot z = 60 minimum değer sorusu) çözümüne geçmemi ister misin?