- B a bir gerçel sayı omak izere, =i eşitliği veriliyor. Buna göre, a değeri kaçtır? B) -1 A)-2 C)o D) 1 E) 2
!Resim [Link Silindi]
6) a bir gerçek sayı olmak üzere, \left(\frac{a+i}{a-i}\right)^{23} = i eşitliği veriliyor. Buna göre, a değeri kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Kompleks sayılarda kutupsal (polar) form kullanımı
- Karmaşık sayıların kuvvetleri ve kuvvetin kutupsal şekilde hesaplanması
- Üniter karmaşık sayıların 23. kuvvetinin i olması durumu
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kesri kutupsal forma yaz
İfademiz: \frac{a+i}{a-i}.
Burada a gerçel.
Bu kesri kutupsal forma çevirmek için pay ve paydadaki kompleks sayıları inceleyelim:
- Pay: a + i = a + i\cdot 1
- Payda: a - i = a - i \cdot 1
Bunların modülleri aynı: \sqrt{a^2 + 1}.
Açıları ise:
- \arg(a+i) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{a}\right)
- \arg(a-i) = \tan^{-1}\left(\frac{-1}{a}\right) = - \tan^{-1}\left(\frac{1}{a}\right)
Buna göre
\frac{a+i}{a-i} \quad \text{kutupsal olarak} \quad \frac{r e^{i \theta}}{r e^{-i \theta}} = e^{i ( \theta - (-\theta))} = e^{i 2\theta}
Burada \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{a}\right).
Adım 2 — Denklemi kutupsal şekilde yaz
Verilen denklem:
\left(\frac{a+i}{a-i}\right)^{23} = i
Kutupsal şekilde:
\left(e^{i 2\theta}\right)^{23} = e^{i \pi/2}
Çünkü i = e^{i \pi/2}.
Buna göre:
e^{i 46 \theta} = e^{i \pi/2 + 2k\pi i}, \quad k \in \mathbb{Z}
Adım 3 — Açı eşitliğini kur
Üstel eşitlikten açıların farkı 2\pi k katı olabilir:
46 \theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi
\theta = \frac{\pi}{92} + \frac{2k\pi}{46} = \frac{\pi}{92} + \frac{k \pi}{23}
Adım 4 — Açı tanımından a değerini bul
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) = \frac{\pi}{92} + \frac{k \pi}{23}
İlk uygun çözüm için k=0:
\tan^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) = \frac{\pi}{92}
Buradan
\frac{1}{a} = \tan\left(\frac{\pi}{92}\right)
Yani
a = \frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{92}\right)} = \cot\left(\frac{\pi}{92}\right)
\cot(\pi/92) pozitif ve yaklaşık olarak a \approx 29.7 gibi büyük bir sayıdır. Bu seçeneklerde yok.
Adım 5 — Farklı k değerleri ile deneyelim
Örneğin k=-1:
\theta = \frac{\pi}{92} - \frac{\pi}{23} = \frac{\pi}{92} - \frac{4\pi}{92} = -\frac{3\pi}{92}
O halde:
\tan^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) = -\frac{3\pi}{92}
Buradan
\frac{1}{a} = \tan\left(-\frac{3\pi}{92}\right) = - \tan\left(\frac{3\pi}{92}\right)
Yaklaşık olarak \tan(3\pi/92) \approx 0.102, yani
\frac{1}{a} \approx -0.102 \implies a \approx -9.8
Yine seçeneklerde yok.
Adım 6 — Özel değerlere bakalım
Şimdi a değerlerini direkt yerine koyup testi kolaylaştırabiliriz.
\frac{a+i}{a - i} = r e^{i 2 \theta}
Ancak r = 1 (çünkü pay ve payda modülleri eşit), yani ifade birim çember üzerinde.
Burada kritik olan \frac{a+i}{a - i} ifadesinin kuvvetinin i = e^{i\pi/2} olması.
\left(\frac{a+i}{a-i}\right)^{23} = i
Bu ifadeyi z olarak koyarsak,
z^{23} = i
inin 23. kuvveti:
z = i^{\frac{1}{23}} = e^{i\pi/2 \cdot \frac{1}{23}} = e^{i\pi/46}
Yani
\frac{a+i}{a-i} = e^{i\pi/46}
İfadeyi çözelim:
\frac{a+i}{a-i} = \frac{(a+i)(a+i)}{(a-i)(a+i)} \neq \text{gerekli değil.}
Ama şöyle yazabiliriz:
\frac{a+i}{a-i} = \frac{a+i}{a-i} \cdot \frac{a+i}{a+i} = \frac{(a+i)^2}{a^2 + 1}
Bu işlem karmaşık sayıyı kolaylaştırmaz, daha doğrusu modül kenarına yürüyelim.
Modül zaten 1, çünkü:
|a+i| = |a-i| = \sqrt{a^2 +1}
İki karmaşık sayının kutupsal formunda açı farkı:
\arg\left(\frac{a+i}{a-i}\right) = \arg(a+i) - \arg(a - i) = \theta - (-\theta) = 2\theta = 2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{a}\right)
Öyleyse
2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) = \frac{\pi}{46} + \frac{2k\pi}{23}
k=0 için:
2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) = \frac{\pi}{46} \implies \tan^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) = \frac{\pi}{92}
Yukarıda bulduk.
Son adım — Şimdi şıklardan deneyelim
Şıklardaki a değerlerine bakalım:
- a=1:
\tan^{-1}\left(\frac{1}{1}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \neq \frac{\pi}{46}
Yanlış.
- a=-1:
\tan^{-1}\left(\frac{1}{-1}\right) = \tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}
2 \times -\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}
Ama açı -\frac{\pi}{2} \equiv \frac{3\pi}{2}, bu kuvvetle uyumlu olabilir mi?
23 \times 2\theta = 23 \times (-\frac{\pi}{2}) = - \frac{23\pi}{2} = -11\pi - \frac{\pi}{2} = -11 \pi - \frac{\pi}{2}
e^{i 23 \times 2\theta} = e^{i (-11\pi - \pi/2)} = e^{i(-\pi/2)}, i değil -i.
Yanlış.
- a=0:
\tan^{-1}\left(\frac{1}{0}\right) \quad \text{tanımsız, sonsuz} \implies \theta = \frac{\pi}{2}
Bu durumda:
2 \times \frac{\pi}{2} = \pi
23 \times \pi = 23\pi
e^{i 23 \pi} = e^{i \pi} = -1 \neq i
Yanlış.
- a=2:
\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \approx 0.4636
2 \times 0.4636 = 0.9272
23 \times 0.9272 = 21.3236 \approx 21.3236 \text{ rad}
Bir açı olarak hesaplayalım:
21.3236 / (2\pi) = 21.3236 / 6.283 = 3.39 tam tur
Açıdan kalan:
0.39 \times 2\pi = 0.39 \times 6.283 = 2.449 \text{ rad}
i = \pi/2 \approx 1.5708 rad. Değil.
Yanlış.
- a=-2:
\tan^{-1}\left(\frac{1}{-2}\right) = \tan^{-1}(-0.5) = -0.4636
2 \times (-0.4636) = -0.9272
23 \times (-0.9272) = -21.3236
Aynı hesaplama:
-21.3236 \mod 2\pi = 2\pi - 2.449 = 3.834 \text{ rad}
Yine iye karşılık gelmiyor.
Adım 7 — Alternatif çözüm
\left(\frac{a+i}{a-i}\right)^{23} = i
Eşitlikte, sağ tarafın modülü 1, bu yüzden
\left|\frac{a+i}{a-i}\right| = 1
Bu zaten gerçek.
Bu ifadeyi başka şekilde yazalım:
\frac{a+i}{a-i} = z
z^{23} = i, yani
z = i^{1/23} = e^{i(\pi/2 + 2k\pi)/23}
z bir birim çember sayı. Modülü 1.
Fakat payda ve pay modülleri eşit olduğundan modülü 1’dır.
Burada z argümanı:
\arg(z) = \arg(a+i) - \arg(a - i) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{a}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{-1}{a}\right) = 2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{a}\right)
Şimdi;
z = e^{i 2 \tan^{-1}(1/a)} = e^{i\phi}
Eşitlik:
z^{23} = e^{i 23 \phi} = i = e^{i \frac{\pi}{2} + 2k\pi i}
Yani:
23 \phi = \frac{\pi}{2} + 2 k \pi
\phi = \frac{\pi}{46} + \frac{2 k \pi}{23}
Ama daha önceki hesaplarla aynı sonucu veriyor.
Adım 8 — a değerini pozitif ya da negatif değerlere bakarak deneyelim
Burada dikkat çeken nokta, \tan^{-1}(1/a) açısının \frac{\pi}{92}, \frac{3\pi}{92}, … gibi küçük açılar olması gerektiğidir.
Bunların tersindeki a çok büyük olur, ancak seçenekler küçük.
Burada dikkat çeken detay, verilen denktir. Soruda boşluklar ve harfler bir parça bulanık görünüyor.
Adım 9 — Sanal kutupsal hesaplarla doğrudan değer deneyelim
a = 1 için:
\frac{1 + i}{1 - i} = \frac{1 + i}{1 - i} \times \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(1 + i)^2}{1 + 1} = \frac{1 + 2i + i^2}{2} = \frac{1 + 2i -1}{2} = \frac{2i}{2} = i
Bu durumda
\left(\frac{a + i}{a - i}\right)^{23} = i^{23} = i^{4 \cdot 5 + 3} = (i^4)^5 \times i^3 = 1^5 \times i^3 = i^3 = -i \neq i
Yanlış.
a = -1 için:
\frac{-1 + i}{-1 - i} = \frac{-1 + i}{-1 - i} \times \frac{-1 + i}{-1 + i} = \frac{(-1 + i)^2}{(-1)^2 + 1} = \frac{1 - 2i + i^2}{2} = \frac{1 - 2i - 1}{2} = \frac{-2i}{2} = -i
O zaman:
(-i)^{23} = (-1)^{23} \times i^{23} = (-1) \times i^{23} = -i^{23}
Yukarıda i^{23} = -i, o zaman:
(-i)^{23} = -(-i) = i
Buradan a = -1 sağlanır!
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) -1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
6) a bir gerçel sayı olmak üzere, \displaystyle\left(\frac{a+i}{a-i}\right)^{23}=i eşitliği veriliyor. Buna göre, a değeri kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Bir gerçel a için \displaystyle\frac{a+i}{a-i} birim çember üzerinde bir karmaşık sayıdır ve a=\cot\alpha alındığında \displaystyle\frac{a+i}{a-i}=e^{i2\alpha} olur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — a=\cot\alpha yerine koyma ve \frac{a+i}{a-i} ifadesini açma
Aşağıdaki kurulum yapılır:
a=\cot\alpha
a+i=\cot\alpha + i
a+i=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+i
a+i=\frac{\cos\alpha+i\sin\alpha}{\sin\alpha}
a+i=\frac{e^{i\alpha}}{\sin\alpha}
(blank line)
a-i=\cot\alpha - i
a-i=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-i
a-i=\frac{\cos\alpha-i\sin\alpha}{\sin\alpha}
a-i=\frac{e^{-i\alpha}}{\sin\alpha}
(blank line)
\frac{a+i}{a-i}=\frac{e^{i\alpha}/\sin\alpha}{e^{-i\alpha}/\sin\alpha}
\frac{a+i}{a-i}=e^{i2\alpha}
Adım 2 — Üst alma ve eşitleme
Kurulum:
\left(\frac{a+i}{a-i}\right)^{23}=i
\left(e^{i2\alpha}\right)^{23}=i
e^{i46\alpha}=i
i=e^{i\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)}\quad\text{(k tam sayı)}
46\alpha=\frac{\pi}{2}+2\pi k
\alpha=\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{46}
Adım 3 — Uygun k seçimi ve a değeri
Kurulum:
a=\cot\alpha
a=\cot\!\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi k}{46}\right)
Bu ifadeden seçeneklerdeki değerleri kontrol ederiz. k için uygun bir değer seçelim:
k=17
\alpha=\frac{\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot 17}{46}
\alpha=\frac{\frac{\pi}{2}+34\pi}{46}
\alpha=\frac{69\pi/2}{46}
\alpha=\frac{69\pi}{92}
\alpha=\frac{3\pi}{4}
(blank line)
a=\cot\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)
\cot\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\cos\frac{3\pi}{4}}{\sin\frac{3\pi}{4}}
\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}
\sin\frac{3\pi}{4}= \frac{\sqrt{2}}{2}
\cot\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: -1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Birim çemberte karmaşık sayılar
- Tanım: Karmaşık sayının modülü 1 ise kutupsal biçimde e^{i\theta} ile gösterilir.
- Bu problemde: \displaystyle\frac{a+i}{a-i} ifadesinin modu 1 olduğundan e^{i2\alpha} biçiminde alınabildi.
- Cot ve açı ilişkisi
- Tanım: a=\cot\alpha alındığında \frac{a+i}{a-i}=e^{i2\alpha}.
- Bu problemde: Üstteki ilişki kullanılarak denklemin açısal eşitliği elde edildi.
SIK YAPILAN HATALAR:
Açı eşitliğini göz ardı etme
- Yanlış: Doğrudan üstel ifadeyi gerçek sayı olarak çözmeye çalışmak.
- Doğru: Karmaşık sayılarda eşitlikleri açı ve modül olarak ele almak gerekir.
- Neden yanlış: Modül ve argüman bilgisi kullanılmazsa yanlış kökler elde edilir.
- Düzeltme: İfadeyi birim çemberdeki açı olarak yazıp üst alma işlemini açın.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?