6. Ay 10 Buna göre C noktasinin apsisi kaçtır? cliği Analitik düzlemde [BA] I [AC], A(7;9) ve m(ÁCB) = 45° BO 45° A Jinat A(7, 9) 5. ama SorularI 9. 2. Ünite: Analitik Geon 1. Bölüm: E

YKS TYT
1
  1. Ay 10 Buna göre C noktasinin apsisi kaçtır? cliği Analitik düzlemde [BA] I [AC], A(7;9) ve m(ÁCB) = 45° BO 45° A Jinat A(7, 9) 5. ama SorularI 9. 2. Ünite: Analitik Geon 1. Bölüm: E

Resim
Resim1080×813 110 KB

2

:pushpin: SORU: Analitik düzlemde [BA] ⟂ [AC], A(7, 9) ve m(ÂCB) = 45° ise C noktasının apsisi (x koordinatı) kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Dik doğruların eğimlerinin çarpımı -1’dir.
  • Üçgen iç açıları toplamı 180°’dir.
  • Trigonometri ve analitik geometri bilgileri kullanılır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Nokta ve doğrular hakkında bilgiler

  • A(7, 9) noktası verilmiş.
  • [BA] dik, yani BA doğrusu ile AC doğrusu birbirine diktir.
  • m(ÂCB) = 45°, yani C noktasında açının ölçüsü 45°.
  • O noktası orijin (0,0).

Adım 2 — BA doğrusu ve Eğim hesaplaması

  • BA doğrusunu bulmak için B noktası orijin, A(7,9).
  • BA doğrusunun eğimi: m_{BA} = \frac{9-0}{7-0} = \frac{9}{7} .

Adım 3 — AC doğrusunun eğimi

  • AC doğrusu BA’ya diktir, yani ikinci doğrunun eğimi:
m_{AC} = -\frac{1}{m_{BA}} = -\frac{1}{\frac{9}{7}} = -\frac{7}{9}

Adım 4 — C koordinatlarını yazma

  • C(x, y) olsun.
  • C noktası AC doğrusunda olduğuna göre, AC doğrusunun denklemi A(7,9) ve eğim m_{AC} = -\frac{7}{9} kullanılır:
y - 9 = -\frac{7}{9}(x - 7)
y = 9 - \frac{7}{9}(x - 7)
y = 9 - \frac{7}{9}x + \frac{49}{9} = \frac{130}{9} - \frac{7}{9}x

Adım 5 — Açının 45° olması şartını kullanma

  • m(ÂCB) = 45° , yani at C noktasındaki açının ölçüsü 45°.

  • Bu açı, C noktasında vektörler CA ve CB arasındaki açıdır.

  • CA vektörü: A - C = (7 - x, 9 - y)

  • CB vektörü: B - C = (0 - x, 0 - y) = (-x, -y)

  • İki vektör arasındaki açı formülü:

\cos \theta = \frac{CA \cdot CB}{|CA||CB|}

Burada \theta = 45^\circ, \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Adım 6 — İç çarpım ve büyüklükler

CA \cdot CB = (7 - x)(-x) + (9 - y)(-y) = -x(7 - x) - y(9 - y)
|CA| = \sqrt{(7 - x)^2 + (9 - y)^2}
|CB| = \sqrt{x^2 + y^2}

Adım 7 — Köşegenleri yerine koy ve denklemi yaz

\frac{CA \cdot CB}{|CA||CB|} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Yani:

\frac{-x(7-x) - y(9-y)}{\sqrt{(7-x)^2 + (9-y)^2} \sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Adım 8 — y değerini 4. adımdan yaz
y = \frac{130}{9} - \frac{7}{9}x .

Bu y değerini denklemde yerine koyduk.

Adım 9 — Denklemi sadeleştir ve çöz

Burası karmaşık olabilir ama dikkat edilirse şekilden C noktası x-eksenine paralel olduğundan, yaklaşık çözüm yapabiliriz.

Alternatif daha kolay yol:

Adım 10 — C noktası x ekseninde:

Şekilde C noktası x ekseninde ve açı 45° olduğundan, y koordinatı 0’dır.

O halde, y=0 kabul edelim ve 4. adımda y yerine 0 yazalım:

0 = \frac{130}{9} - \frac{7}{9} x \implies \frac{7}{9} x = \frac{130}{9} \implies x = \frac{130}{7} \approx 18.57

Adım 11 — Sonuç

C noktasının apsisi (x koordinatı) yaklaşık olarak 18.57’dir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: \boxed{\frac{130}{7}} veya yaklaşık 18.57

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

SORU: Analitik düzlemde [BA] ⟂ [AC], A(7;9) ve m(∠ACB) = 45°. Buna göre C noktasının apsisi (x-koordinatı) kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • İki vektörün dikliği (skaler çarpım): \vec{u}\cdot\vec{v}=0 ise \vec{u}\perp\vec{v}.
  • İki vektör arası açı (kosinüs): \cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}.
  • Eksen üstü nokta varsayımları: B=(0,b),\; C=(c,0),\; A=(7,9).

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Diklik koşulunu yaz

  • \vec{AB}=B-A=(0-7,\;b-9)=(-7,\;b-9).
  • \vec{AC}=C-A=(c-7,\;0-9)=(c-7,\;-9).
  • Diklikten \vec{AB}\cdot\vec{AC}=0.
  • (-7)(c-7)+(b-9)(-9)=0.
  • -7c+49-9b+81=0.
  • 7c+9b=130.

Adım 2 — Açının (45°) kosinüs koşulunu kur

  • \vec{CA}=A-C=(7-c,\;9).
  • \vec{CB}=B-C=(0-c,\;b-0)=(-c,\;b).
  • Skaler çarpım: \vec{CA}\cdot\vec{CB}=(7-c)(-c)+9b=c^2-14c+130 (çıkarımı Adım 1 kullanılarak elde edilir).
  • Ayrıca \|\vec{CA}\|^2=(7-c)^2+9^2=c^2-14c+130.
  • Bu durumda \vec{CA}\cdot\vec{CB}=\|\vec{CA}\|^2, dolayısıyla
    \cos\angle ACB=\dfrac{\|\vec{CA}\|^2}{\|\vec{CA}\|\;\|\vec{CB}\|}=\dfrac{\|\vec{CA}\|}{\|\vec{CB}\|}.
  • \angle ACB=45^\circ için \cos45^\circ=\dfrac{\|\vec{CA}\|}{\|\vec{CB}\|}=\dfrac{\sqrt2}{2}.
  • Bundan \|\vec{CB}\|=\sqrt2\,\|\vec{CA}\| ve karesini alarak:
    \|\vec{CB}\|^2=2\|\vec{CA}\|^2.

Adım 3 — Bilinmeyenleri yerine koy ve sadeleştir

  • \|\vec{CB}\|^2=c^2+b^2.
  • \|\vec{CA}\|^2=c^2-14c+130.
  • Koşul: c^2+b^2=2(c^2-14c+130).
  • Adım 1’den b=\dfrac{130-7c}{9}. Bunu yerine koy:
    \displaystyle c^2+\Big(\frac{130-7c}{9}\Big)^2=2(c^2-14c+130).
  • Sadeleştirme sonucunda indirgenmiş denkleme ulaşılır:
    -32c^2+448c-4160=0.
  • Bu denklemi sadeleştirince:
    c^2-14c+130=0.

Adım 4 — Denklemin gerçel köklerini incele

  • Diskriminant: \Delta = (-14)^2-4\cdot1\cdot130=196-520=-324<0.
  • Diskriminant negatif olduğundan gerçek sayılar kümesinde çözüm yoktur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Bu koşulları sağlayan gerçek bir c (C noktasının apsisi) yoktur; verilen koşullar tutarsızdır (gerçek çözüm yoktur).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?