6^{-2} - 3^{-2} işleminin sonucu ile ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) 0 ile 1 arasındadır.
B) -1 \( ile-\frac{1}{2} arasındadır.)
C) -\frac{1}{9}'den küçüktür.
D) -\frac{1}{6}'den büyüktür.
Negatif Üs ve Rasyonel Sayılarda Sıralama
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpma işlemine göre tersinin pozitif kuvvetine eşittir: a^{-n} = \frac{1}{a^n}. Negatif rasyonel sayılarda paydalar eşit veya paylar eşit olduğunda, sıfıra daha yakın olan sayı daima daha büyüktür.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Negatif Üslü İfadelerin Değerini Bulma
Verilen 6^{-2} ve 3^{-2} üslü ifadelerini rasyonel sayı biçiminde yazalım:
6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}
3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}
Adım 2 — Rasyonel Sayılarda Çıkarma İşlemi
Paydaları 36’da eşitleyerek çıkarma işlemini yapalım ve sonucu sadeleştirelim:
6^{-2} - 3^{-2} = \frac{1}{36} - \frac{1}{9} = \frac{1}{36} - \frac{4}{36} = -\frac{3}{36} = -\frac{1}{12}
Adım 3 — Seçeneklerin Analizi
Bulunan -\frac{1}{12} değerini seçeneklerdeki sınır değerlerle karşılaştıralım:
- A) -\frac{1}{12} negatif bir sayı olduğundan 0 ile 1 arasında olamaz. (Yanlış)
- B) -\frac{1}{2} = -\frac{6}{12}'dir. -\frac{1}{12}, -\frac{6}{12}'den büyük olduğundan bu aralıkta yer almaz. (Yanlış)
- C) -\frac{1}{9} = -\frac{4}{36} ve -\frac{1}{12} = -\frac{3}{36}'dir. Sayı doğrusunda -\frac{3}{36} > -\frac{4}{36} olduğu için -\frac{1}{9}'dan küçüktür ifadesi yanlıştır. (Yanlış)
- D) -\frac{1}{6} = -\frac{2}{12}'dir. Sayı doğrusunda -\frac{1}{12}, -\frac{2}{12}'nin sağında yer alır; dolayısıyla -\frac{1}{12} > -\frac{1}{6} ifadesi doğrudur. (Doğru)
CEVAP: D) -\frac{1}{6}'den büyüktür \left(-\frac{1}{12} > -\frac{1}{6}\right)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Negatif rasyonel sayılarda sıralama yaparken pozitif sıralamanın tam tersi geçerlidir. Pozitifte \frac{1}{12} < \frac{1}{6} iken, eksi işareti girdiğinde yön değişir ve -\frac{1}{12} > -\frac{1}{6} olur.