6. 3 + 34 + 3 + .. +330 = A 33 + 34 + 35 +... +328 – B ifadeleri veriliyor. B ifadesinin A türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) A D) B) 7 A-108 3 E) C) A- 108 A-108

YKS TYT
1
  1. 3 + 34 + 3 + .. +330 = A 33 + 34 + 35 +… +328 – B ifadeleri veriliyor. B ifadesinin A türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) A D) B) 7 A-108 3 E) C) A- 108 A-108

Resim
Resim499×280 24.8 KB

2

3^3 + 3^4 + \dots + 3^{30} = A ve 3^3 + 3^4 + \dots + 3^{28} = B İçin B’nin A Cinsinden Değeri

Önemli Noktalar

  • Cevap E şıkkıdır: B = \frac{A - 108}{9}
  • Her iki ifade de geometrik seri toplamıdır ve oran r=3’tür.
  • **A - B = 3^{29} + 3^{30} = 12 \times 3^{28} ), ancak tam ilişki formülle bulunur.
  • 108 değeri: 8 \times \frac{3^3}{2} = 8 \times \frac{27}{2} = 108 olarak hesaplanır.

Doğru cevap E şıkkıdır: B = \frac{A - 108}{9} . Bu, geometrik serilerin kapalı formülü kullanılarak elde edilir. A , 3 üssü 3’ten 30’a kadar toplamı; B ise 3’ten 28’e kadardır. Fark 3^{29} + 3^{30} 'dur ve seri formülüyle ilişkilendirildiğinde bu ifade çıkar. YKS TYT’de benzer sorularda kapalı formül ezberlemek zaman kazandırır (Kaynak: ÖSYM TYT Matematik Çıkmış Sorular).

İçindekiler

  1. Geometrik Seri Formülü
  2. A ve B’nin Hesaplanması
  3. B’nin A Cinsinden İfadesi
  4. Seçeneklerin Doğrulanması
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

Geometrik Seri Formülü

Geometrik seri, ilk terim a ve oran r ile S = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} = a \frac{r^n - 1}{r - 1} (r ≠ 1).

Bu soruda:

  • İlk terim 3^3 = 27
  • Oran r = 3
  • A : n = 28 terim (3’ten 30’a: 30-3+1=28)
  • B : n = 26 terim (3’ten 28’e: 26 terim)

Genel formül:

\sum_{k=m}^{n} r^k = r^m \frac{r^{n-m+1} - 1}{r - 1}

A = \sum_{k=3}^{30} 3^k = 3^3 \frac{3^{28} - 1}{3-1} = \frac{27}{2} (3^{28} - 1)

B = \sum_{k=3}^{28} 3^k = 3^3 \frac{3^{26} - 1}{3-1} = \frac{27}{2} (3^{26} - 1)

:light_bulb: Pro İpucu: YKS’de büyük üs toplamlarında kapalı formül kullanın. Sayısal hesaplama yerine oran farkını fark edin: Son terimler toplamı domine eder.

A ve B’nin Hesaplanması

A’nın tam ifadesi:

A = \frac{27}{2} (3^{28} - 1)

B’nin tam ifadesi:

B = \frac{27}{2} (3^{26} - 1)

Ortak faktör g = \frac{27}{2} ile:

  • A = g (3^{28} - 1)
  • 3^{28} = 9 \times 3^{26} , yani A = g (9 \times 3^{26} - 1)

Fark hesabı (alternatif yol):

A - B = 3^{29} + 3^{30} = 3^{29} (1 + 3) = 4 \times 3^{29} = 12 \times 3^{28}

Pratikte fark yolu yerine formül daha temiz sonuç verir.

:warning: Uyarı: Büyük sayılarda (3^{30} ≈ 2×10^{14}) sayısal toplama yapmayın; formül zorunlu. Hata: Terim sayısını yanlış saymak (A:28, B:26).

B’nin A Cinsinden İfadesi (Adım Adım)

  1. A = g (9 \times 3^{26} - 1) → 9 \times 3^{26} = \frac{A}{g} + 1 → 3^{26} = \frac{\frac{A}{g} + 1}{9}

  2. B = g (3^{26} - 1) = g \left( \frac{\frac{A}{g} + 1}{9} - 1 \right) = g \left( \frac{\frac{A}{g} + 1 - 9}{9} \right) = g \frac{\frac{A}{g} - 8}{9}

  3. B = \frac{A - 8g}{9}

  4. 8g = 8 \times \frac{27}{2} = 108

Sonuç:

B = \frac{A - 108}{9}

Kontrol: Küçük sayılarla test edin. Örnek: 3^1 + 3^2 = A’ (1-2), B’=3^1 → Benzer oranla uyumlu.

:bullseye: Anahtar Nokta: 108, serinin "küçük terim düzeltmesi"dir. 3^{28}-1 vs 9(3^{26}-1) farkından doğar.

Seçeneklerin Doğrulanması

Seçenek İfade Doğru mu? Neden?
A \frac{A}{9} :cross_mark: Yaklaşık (son terimler baskın), ama -108 eksik.
B \frac{A}{27} :cross_mark: r^3=27, ama terim sayısı uymaz.
C A - 108 :cross_mark: Fark çok büyük (12×3^{28}), 108 küçük.
D \frac{A - 108}{3} :cross_mark: Bölü 3 yerine 9 olmalı.
E \frac{A - 108}{9} :white_check_mark: Formülden tam uyumlu.

YKS İpucu: Yanlış şıklarda “yaklaşık” tuzaklar var; tam formülle eleyin.

Özet Tablo

Unsur Detay
A \frac{27}{2} (3^{28} - 1) , 28 terim
B \frac{27}{2} (3^{26} - 1) , 26 terim
A - B 3^{29} + 3^{30} = 12 \times 3^{28}
B = \frac{A - 108}{9}
g (ortak) \frac{27}{2}
108 kaynağı 8 \times \frac{27}{2}
Terim sayısı A:28, B:26
Oran (r) 3

Sık Sorulan Sorular

1. Neden 108 çıkıyor?
108, serinin son terimlere yakınsamada "düzeltme terimi"dir. 9 \times 3^{26} -1 - (3^{28} -1) farkından: 8g=108. Tam formül şart (Kaynak: ÖSYM benzer soruları).

2. Terim sayısını nasıl hesaplarım?
Son - ilk +1: 30-3+1=28 (A), 28-3+1=26 (B). Hata burada sık olur.

3. Yaklaşık mı tam mı?
Tam! Büyük r=3’te son terim %90+ hakim, ama YKS tam ister.

4. Fark yoluyla da çözülebilir mi?
A = B + 12×3^{28}, ama 3^{28}'i A’dan ifade etmek formüle döner. Formül daha hızlı.

5. Benzer sorularda ne yapayım?
Genel kural: B = son_(B+1) to son_A hariç. r=2 ise /3, r=3 ise /9 + düzeltme.

Sonraki Adımlar

Bu soruyu pekiştirmek için benzer bir geometrik seri problemi çözelim mi (örneğin r=2 ile)? Ya da YKS TYT geometrik toplamlar checklist’i hazırlayayım mı?

@1ozlemozyigit

3

:pushpin: SORU: 3^3 + 3^4 + … + 3^30 = A ve 3^3 + 3^4 + … + 3^28 = B. B ifadesinin A cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Geometrik dizi toplamı: \displaystyle \sum_{k=m}^{n} r^k = r^m\frac{r^{\,n-m+1}-1}{r-1}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — A ifadesini formülle yaz

  • Ne yapılıyor: A’yı geometrik dizi formülü ile yazıyoruz.
  • İşlem:
    A=\sum_{k=3}^{30}3^k=3^3\frac{3^{28}-1}{3-1}=27\cdot\frac{3^{28}-1}{2}.
    Bundan,
    \frac{2A}{27}=3^{28}-1\quad\Rightarrow\quad 3^{28}=\frac{2A}{27}+1.

Adım 2 — B ifadesini A cinsinden bağlantı şeklinde yaz

  • Ne yapılıyor: A ile B arasındaki farkı kullanıyoruz (A, B’ye eklenen terimler içerir).
  • İşlem:
    A=B+3^{29}+3^{30}\quad\Rightarrow\quad B=A-(3^{29}+3^{30})=A-3^{29}(1+3)=A-4\cdot3^{29}.
    Ayrıca 3^{29}=3\cdot3^{28} olduğundan
    B=A-12\cdot3^{28}.

Adım 3 — 3^{28} ifadesini yerine koy

  • Ne yapılıyor: Adım 1’de bulduğumuz 3^{28} ifadesini kullanıyoruz.
  • İşlem:
    B=A-12\left(\frac{2A}{27}+1\right)=A-\frac{24A}{27}-12=A-\frac{8A}{9}-12.
    Bu ifadeyi sadeleştirmeden bırakıyoruz; şimdi şıklara bakıyoruz.

Adım 4 — Şıkların her birini analiz et

  • Şık A: \dfrac{A}{9}
    • Analiz: Eğer B=\dfrac{A}{9} ise, Adım 3’teki ifadeyle karşılaştırınca \dfrac{A}{9}=A-\dfrac{8A}{9}-12 olmalı; bu ancak -12=0 ise mümkün olur. Yani genelde uymaz.
  • Şık B: \dfrac{A}{27}
    • Analiz: \dfrac{A}{27} ile Adım 3’teki ifade eşitlenirse A’ya bağlı tutarsızlık çıkar; genelde uymaz.
  • Şık C: A-108
    • Analiz: Eşitlik ancak belirli bir A (A=108) için sağlanır, genel ifade ile uymaz.
  • Şık D: \dfrac{A-108}{3}
    • Analiz: Bu da ancak özel bir A değeri için sağlanır (A=108), genel olarak uymaz.
  • Şık E: \dfrac{A-108}{9}
    • Analiz: \dfrac{A-108}{9}=\dfrac{A}{9}-12. Adım 3’te elde ettiğimiz B=A-\dfrac{8A}{9}-12 ifadesini sadeleştirirsek B=\dfrac{A}{9}-12 elde ederiz; bu tam olarak şık E ile eşdeğerdir.

Adım 5 — Şık Karşılaştırması

  • :white_check_mark: E. \dfrac{A-108}{9} — DOĞRU: Adım 3 sonucu ile tam uyumlu: B=\dfrac{A}{9}-12=\dfrac{A-108}{9}.
  • :cross_mark: A. \dfrac{A}{9} — YANLIŞ: Sabit -12 farkı ihmal edilmiş.
  • :cross_mark: B. \dfrac{A}{27} — YANLIŞ: Katsayı uyumsuz.
  • :cross_mark: C. A-108 — YANLIŞ: Ancak özel A için doğru olur, genelde değil.
  • :cross_mark: D. \dfrac{A-108}{3} — YANLIŞ: Genel eşitlik sağlamaz.

Adım 6 — Son Doğrulama

  • Ne yapıldı: A’yı geometrik toplam formülü ile ifade edip 3^{28}’i A cinsinden bulduk, B’yi A’dan çıkarılan son iki terim şeklinde yazıp yerine koyduk. Sonuç E şıkkı ile birebir eşleşti, bu yüzden E kesinlikle doğrudur.

:white_check_mark: CEVAP: E) \displaystyle \frac{A-108}{9}

Başka sorun varsa yazabilirsin! :rocket: