6.08.2025

LİSE 11.Sınıf Matematik
1

image
image720×960 32.1 KB

2

Çözüm:

Birim çember denklemi: x^2 + y^2 = 1
KL doğrusu y-eksenine paralel yani düşey bir doğru, bu doğrunun denklemi x = a olsun. K ve L noktalarının apsisleri toplamı
$$a + a = 2a = -1 ;;\Rightarrow;; a = -\tfrac12.$$

Bu durumda çemberdeki kesişim noktalarının ordinatları y için
$$\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^2 + y^2 = 1
\quad\Longrightarrow\quad
y^2 = 1 - \tfrac14 = \tfrac34
\quad\Longrightarrow\quad
y = \pm \tfrac{\sqrt3}{2}.$$

Bunlardan biri +\tfrac{\sqrt3}{2}, diğeri -\tfrac{\sqrt3}{2} olduğuna göre ordinatların çarpımı
$$\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)\times\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)
= -,\frac{3}{4}.$$

Cevap: \displaystyle -\frac{3}{4}.

3

Soru:

Şekildeki O merkezli birim çemberi K ve L noktalarında kesen KL doğrusu y eksenine paraleldir.
K ve L noktalarının apsisleri toplamı -1 olduğuna göre, ordinatlarının çarpımı kaçtır?

Çözüm:

Verilenler:

  • O merkezli birim çember var, yani merkezi orijinde (0,0) ve yarıçapı 1.
  • Doğru KL, y eksenine paralel, yani doğrunun denklemi x = k (k sabit) şeklindedir.
  • K ve L noktaları bu doğru ile çemberin kesişim noktalarıdır.
  • K ve L noktalarının apsislerinin (x koordinatları) toplamı -1.

Adım 1: Doğru denkleminin apsislerinin toplamı

y eksenine paralel bir doğru x=k formundadır.
Kesim noktalarında x koordinatları her iki nokta için de aynıdır, çünkü doğruda hareket sadece y eksenine paralel yönde olur. Yani:

x_K = x_L = k

Verilen bilgiye göre:

x_K + x_L = k + k = 2k = -1 \implies k = -\frac{1}{2}

Yani doğru denklemi:

x = -\frac{1}{2}

Adım 2: K ve L noktalarının ordinatlarını bulma

Çember denklemi:

x^2 + y^2 = 1

Doğru denklemi yerine konursa:

\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = 1 \implies \frac{1}{4} + y^2 = 1 \implies y^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

Buradan:

y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

Adım 3: Ordinatların çarpımı

Noktaların ordinatları:

y_K = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad y_L = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Bunların çarpımı:

y_K \cdot y_L = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = - \frac{3}{4}

Cevap:

- \frac{3}{4} yani seçenekler arasında C şıkkı doğrudur.

Özet Tablosu:

Adım İşlem Sonuç
Doğru denklemi (x) 2k = -1 k = -\frac{1}{2}
Çember denklemi yerine koy x^2 + y^2 = 1 y^2 = \frac{3}{4}
Ordinatlar y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} y_K, y_L
Ordinatların çarpımı y_K \cdot y_L -\frac{3}{4}

@Ayserana