\log_{2} 5x + \log_{8} (x^3) = 2
olduğuna göre, x kaçtır?
A) \frac{\sqrt{5}}{5}
B) \frac{\sqrt{2}}{2}
C) \frac{2\sqrt{5}}{5}
D) \frac{5\sqrt{2}}{2}
E) \frac{\sqrt{15}}{3}
Logaritma Denklemleri ve Taban Değiştirme Özelliği
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Logaritma taban ve kuvvet kuralına göre \log_{a^n}(b^m) = \frac{m}{n} \log_a(b) ve aynı tabandaki logaritmaların toplamı \log_a(u) + \log_a(v) = \log_a(u \cdot v) şeklinde çarpım olarak yazılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — İkinci Terimi Aynı Tabana İndirgeme:
Verilen denklemde \log_8(x^3) ifadesinde tabanı 8 = 2^3 şeklinde yazıp kuvvet kuralını uygulayalım:
\log_8(x^3) = \log_{2^3}(x^3) = \frac{3}{3}\log_2(x) = \log_2(x)
Adım 2 — Logaritmaları Tek Bir Çatı Altında Birleştirme:
Elde edilen ifadeyi ana denklemde yerine yazarak ortak tabanda çarpım kuralını uygulayalım:
\log_2(5x) + \log_2(x) = 2 \implies \log_2(5x \cdot x) = 2 \implies \log_2(5x^2) = 2
Adım 3 — Üslü İfadeye Çevirme ve x Değerini Bulma:
Logaritma tanımından yararlanarak denklemi çözelim:
5x^2 = 2^2 \implies 5x^2 = 4 \implies x^2 = \frac{4}{5}
Logaritmanın tanım kümesi gereği x > 0 olması gerektiğinden pozitif karekökü alıp paydayı rasyonel yapalım:
x = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}
CEVAP: C) \frac{2\sqrt{5}}{5} (x = \frac{2\sqrt{5}}{5})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Logaritmik denklemlerde \log_a(x) ifadesinin tanımlı olabilmesi için x > 0 şartı mutlaka gözetilmelidir; bu nedenle x^2 = \frac{4}{5} eşitliğinden gelen negatif kök elenir.
@Akademik_Rehber Cevabı uzun değil de kısaca yaz
-
\log_8(x^3) = \log_{2^3}(x^3) = \frac{3}{3}\log_2 x = \log_2 x
-
Denklemi düzenleyelim:
\log_2(5x) + \log_2 x = 2 \implies \log_2(5x^2) = 2 -
Üslü ifadeye çevirelim (x > 0):
5x^2 = 2^2 \implies 5x^2 = 4 \implies x^2 = \frac{4}{5} \implies x = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}
Doğru Cevap: C şıkkı (\frac{2\sqrt{5}}{5})
@Akademik_Rehber Bana bu cevabı Özetle
Çözüm Özeti:
- Sadeleştirme: \log_8(x^3) = \log_{2^3}(x^3) ifadesi kuvvet kuralıyla doğrudan \log_2 x’e eşitlenir.
- Birleştirme: Tabanlar aynı olduğu için toplama işlemi çarpıma dönüşür: \log_2(5x \cdot x) = \log_2(5x^2) = 2.
- Sonuç: 5x^2 = 2^2 \implies 5x^2 = 4 denkleminden logaritma tanımı gereği pozitif olan kök x = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} (C şıkkı) bulunur.
@Akademik_Rehber Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla
1. Adım: Tabanları Eşitleme (En Önemli Kısım)
Logaritmada toplama yapabilmek için tabanların aynı olması gerekir. İlk terimin tabanı 2, ikinci terimin tabanı ise $8$’dir.
- 8 sayısını 2^3 olarak yazabiliriz:\log_8(x^3) = \log_{2^3}(x^3)
- Tabanın ve üssün kuvvetlerini başa katsayı olarak atma kuralını uygulayalım (\log_{a^n}(b^m) = \frac{m}{n}\log_a(b)):\frac{3}{3} \cdot \log_2(x) = 1 \cdot \log_2(x) = \log_2(x)
Böylece ikinci terim doğrudan \log_2(x) haline geldi.
2. Adım: Denklemi Ortak Tabanda Birleştirme
İkinci terimin yeni halini sorudaki yerine koyalım:
\log_2(5x) + \log_2(x) = 2
- Tabanları aynı olan logaritmalar toplanırken içlerindeki ifadeler çarpılır (\log_a(u) + \log_a(v) = \log_a(u \cdot v)):\log_2(5x \cdot x) = 2 \implies \log_2(5x^2) = 2
3. Adım: Logaritmadan Kurtulup Üslü Sayıya Geçme
\log_a(b) = c ifadesi b = a^c anlamına gelir. Taban olan $2$’yi karşı tarafa üs tabanı olarak atalım:
5x^2 = 2^2
5x^2 = 4
4. Adım: x Değerini Bulma ve Paydayı Kökten Kurtarma
- Her iki tarafı $5$’e bölelim:x^2 = \frac{4}{5}
- Logaritmanın içi negatif olamayacağı için (x > 0), her iki tarafın pozitif karekökünü alalım:x = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}
- Paydada köklü sayı bırakmamak için kesri \sqrt{5} ile genişletelim:x = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}
Bu da C seçeneğidir.