\frac{56^{3} dot 6^{9}}{7^{3} dot 27^{3}} işleminin sonucunu bulunuz.
Üslü İfadelerde Sadeleştirme ve Taban Dönüşümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Aynı üsse sahip üslü ifadelerin bölme işleminde ortak üs kuralı \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n uygulanır. Üssün üssü kuralında ise (a^m)^n = a^{m \cdot n} bağıntısı kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Aynı üsse sahip ifadeleri gruplandırma
Verilen işlemde üsleri aynı olan \frac{56^{-3}}{7^{-3}} ifadesini ortak üs parantezine alalım:
\frac{56^{-3}}{7^{-3}} = \left(\frac{56}{7}\right)^{-3} = 8^{-3}
Adım 2 — Paydadaki 27^3 ifadesini 3 tabanında yazma
27 = 3^3 olduğundan üssün üssü kuralını uygulayalım:
27^3 = (3^3)^3 = 3^{3 \cdot 3} = 3^9
Adım 3 — Kalan ifadeleri sadeleştirme
6^9 ile paydadaki 3^9 ifadesini ortak üs altında bölelim:
\frac{6^9}{3^9} = \left(\frac{6}{3}\right)^9 = 2^9
Adım 4 — Çarpım sonucunu hesaplama
Bulunan değerleri bir araya getirip 8 = 2^3 taban dönüşümünü yapalım:
8^{-3} \cdot 2^9 = (2^3)^{-3} \cdot 2^9 = 2^{-9} \cdot 2^9 = 2^{-9 + 9} = 2^0 = 1
CEVAP: 1
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Soruda üslerdeki eksi işaretleri dikkate alınmadığında işlem sonucu 2^{18} çıkar; ancak soruda verilen 56^{-3} ve 7^{-3} negatif kuvvetleri birbirini götürerek 2^{-9} \cdot 2^9 = 2^0 = 1 sonucunu verir.