- D) y = (x 1)^3 eğrisi üzerindeki A(2 1) noktasından geçen yine eğriye başka bir B noktasında teğet olan doğrunun eğimi kaçtır?
Soru Fotoğrafı:
y = (x − 1)^3 eğrisi üzerindeki A(2,1) noktasından geçen ve yine eğriye başka bir B noktasında teğet olan doğrunun eğimi kaçtır?
Kullanılan Formül:
- Eğrinin türevi, teğetin eğimini verir:
y' = \frac{dy}{dx} - İki noktadan geçen doğrunun eğimi:
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Eğrinin türevini bulma
y = (x - 1)^3
Türev alalım:
y' = 3(x - 1)^2
Adım 2 — A noktasındaki türev değerini hesaplama
A(2,1) noktası için:
y'|_{x=2} = 3(2 - 1)^2 = 3 \times 1^2 = 3
Bu, A noktasındaki teğetin eğimi olur.
Adım 3 — B noktasının koordinatlarını B(x, (x-1)^3) olarak ifade etme
B noktası da eğri üzerinde olduğu için y_B = (x_B - 1)^3
Ancak B, A noktasından geçen ve eğriye teğet olan aynı doğru üzerindedir.
Adım 4 — Doğrunun eğim ifadesini yazma
Doğrunun eğimi aynı zamanda türev eğimidir, yani:
m = \text{doğrunun eğimi} = \text{bir noktadaki türev}
A’dan B’ye geçen doğrunun eğimi:
m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{(x_B - 1)^3 - 1}{x_B - 2}
Aynı zamanda B noktasındaki türev:
m = 3(x_B - 1)^2
Adım 5 — Eşitliği kurma
3(x_B - 1)^2 = \frac{(x_B - 1)^3 - 1}{x_B - 2}
Adım 6 — Denklemi çözme
Her iki tarafı da payda ile çarparak:
3(x_B - 1)^2 (x_B - 2) = (x_B - 1)^3 - 1
Solda açılım yapalım:
3(x_B - 1)^2(x_B - 2) = 3(x_B - 1)^2 (x_B - 2)
Sağ taraf zaten açık:
(x_B - 1)^3 - 1^3
Sağ tarafı açalım:
(x_B - 1)^3 - 1 = \text{biliriz ki} (a^3 - b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Burada a = (x_B - 1), b=1
= (x_B - 2)((x_B - 1)^2 + (x_B - 1)\times 1 + 1^2) = (x_B - 2)((x_B - 1)^2 + (x_B - 1) + 1)
Denklik:
3(x_B - 1)^2 (x_B - 2) = (x_B - 2)((x_B - 1)^2 + (x_B - 1) + 1)
Her iki tarafta da (x_B - 2) var, x_B \neq 2 olduğu için sadeleştirebiliriz:
3 (x_B - 1)^2 = (x_B - 1)^2 + (x_B - 1) + 1
Sağ tarafı toplayalım:
3 (x_B - 1)^2 = (x_B - 1)^2 + (x_B - 1) + 1
Sağdaki terimleri sola alalım:
3 (x_B - 1)^2 - (x_B - 1)^2 - (x_B - 1) - 1 = 0
Bu da:
2 (x_B - 1)^2 - (x_B - 1) - 1 = 0
Yeni değişken t = x_B - 1 diyelim:
2 t^2 - t - 1 = 0
Bu ikinci dereceden denklemi çözelim:
t = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 2 \times (-1)}}{2 \times 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}
İki çözüm:
- t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1
- t_2 = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
Adım 7 — Çözümleri inceleyelim:
t = x_B - 1
- t_1 = 1 \Rightarrow x_B = 2
Bu, A noktasının x değeri ve B noktası A ile aynı olur, farklı nokta istediğimiz için bunu atlıyoruz. - t_2 = -\frac{1}{2} \Rightarrow x_B = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
Adım 8 — Eğimi bulalım:
x_B = \frac{1}{2} için eğim:
m = 3(x_B - 1)^2 = 3 \left( \frac{1}{2} - 1 \right)^2 = 3 \left( -\frac{1}{2} \right)^2 = 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: \boxed{\frac{3}{4}} (D şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
- Türev eğrinin teğetinin eğimini verir.
- Aynı eğime sahip, eğri üzerinde iki farklı noktadan geçen doğrular.
- İkinci dereceden denklemlerde çözüm kontrollü seçilir (aynı nokta olamaz).
Başka bir örnek ister misin? Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
y = (x - 1)^3 eğrisi üzerindeki A(2,1) noktasından geçen ve yine eğriye başka bir B noktasında teğet olan doğrunun eğimi kaçtır?
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Türev: Bir noktadaki teğetin eğimi eğrinin türevidir.
- Teğet denklemi: Noktası (x_0,y_0) olan eğrinin m=y'(x_0) eğimine sahip teğeti: y-y_0=m(x-x_0) .
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Eğrinin türevini al
Eğrinin denklemi: y=(x-1)^3
y'=\frac{d}{dx}(x-1)^3
y' = 3(x-1)^2\cdot\frac{d}{dx}(x-1)
\frac{d}{dx}(x-1)=1
y' = 3(x-1)^2\cdot 1
y' = 3(x-1)^2
Adım 2 — B noktasını t ile göster ve teğet şartını kur
Tanım: B noktasının x-koord.ını x_B alalım ve t=x_B-1 diyelim.
y_B = t^3
m_B = 3t^2
Teğet denklemi (B noktasında): y-y_B = m_B(x-x_B)
Bu doğrunun A(2,1) noktasından geçtiği için:
1 - y_B = m_B(2 - x_B)
Yerine koy:
1 - t^3 = 3t^2\big(2-(t+1)\big)
2-(t+1)=1-t
1 - t^3 = 3t^2(1-t)
Sağ tarafı aç:
3t^2(1-t)=3t^2-3t^3
Soldan sağa getir:
1 - t^3 - 3t^2 + 3t^3 = 0
1 + 2t^3 - 3t^2 = 0
2t^3 - 3t^2 + 1 = 0
t=1 için kontrol:
2(1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 0
Böylece (t-1) çarpanı var:
2t^3 - 3t^2 + 1 = (t-1)(2t^2 - t - 1)
Kalan ikinci dereceyi çöz:
2t^2 - t - 1 = 0
\Delta = (-1)^2 - 4\cdot 2 \cdot (-1)
\Delta = 1 + 8
\Delta = 9
t = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}
t = \frac{1 \pm 3}{4}
t = \frac{1+3}{4} = 1
t = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}
t=1 A noktasına karşılık geldiği için diğer çözüm t=-\tfrac{1}{2} alınır.
Adım 3 — Eğimi hesapla
m = 3t^2
m = 3\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2
m = 3\cdot\tfrac{1}{4}
m = \tfrac{3}{4}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: \displaystyle \frac{3}{4}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Türev
- Tanım: Bir fonksiyonun anlık değişim oranıdır; teğetin eğimidir.
- Bu problemde: Teğetin eğimini y'=3(x-1)^2 ile hesapladık.
- Teğetin nokta-slope formu
- Tanım: y-y_0=m(x-x_0)
- Bu problemde: A noktasının denklemde sağlanmasıyla x_B için denklemi kurduk.
SIK YAPILAN HATALAR:
Ayni noktayı ikinci çözüm sanmak
- Yanlış: Elde edilen t=1 kökünü diğer B noktası zannetmek.
- Doğru: t=1 A noktasına karşılık gelir; diğer kök t=-\tfrac{1}{2} farklı B’dir.
- Neden yanlış: Denklemi tam çözmeden tekrar eden kökü atlamak.
- Düzeltme: Tüm kökleri bulun ve A noktasından farklı olanı seçin.
Teğet eğimini A noktasının türevi sanmak
- Yanlış: Doğrunun eğimini direkt A noktasındaki türev sanmak.
- Doğru: Aranılan doğru B noktasında teğet olduğu için eğim y'(x_B) olmalıdır.
- Neden yanlış: Soru A’dan geçen ama B’de teğet olan doğru diyor; A’daki türev yalnızca A’da teğeti verir.
- Düzeltme: Teğet şartını B noktası için kurun ve A noktasının doğruda olma şartını kullanın.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Write the answer briefly instead of long
Kısa Çözüm:
-
Eğrinin türevi:
y' = 3(x - 1)^2 -
A(2,1) noktasından geçen ve eğriye B noktasında teğet olan doğrunun eğimi:
m = 3(x_B - 1)^2 -
Doğru eğimi aynı zamanda:
m = \frac{(x_B - 1)^3 - 1}{x_B - 2} -
Eşitlik:
3(x_B - 1)^2 = \frac{(x_B - 1)^3 - 1}{x_B - 2} -
Çözümden x_B = \frac{1}{2} ve
m = 3\left(\frac{1}{2} - 1\right)^2 = \frac{3}{4}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: \frac{3}{4} (D şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!