54!-1 sayısının sondan kaç basamağı 9 dur
54! - 1 Sayısının Sondan Kaç Basamağının 9 Olduğunun Bulunması
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bir A sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğu, o sayının içindeki 10 çarpanlarının (yani 2 \times 5 asal çarpanlarından 5’in) sayısına eşittir.
Sondan n basamağı sıfır olan bir sayıdan 1 çıkarıldığında (10^n \dots 0 - 1), elde edilen yeni sayının sondan tam n basamağı 9 olur:
\text{Sondaki 9 Sayısı} = \text{Faktöriyelin Sondaki 0 Sayısı} = \lfloor \frac{N}{5} \rfloor + \lfloor \frac{N}{5^2} \rfloor + \dots
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — 54! Sayısının İçindeki 5 Asal Çarpanlarının Sayısını Bulma
54! ifadesinin sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için 54 sayısı sürekli 5’e bölünür ve elde edilen bölümler toplanır:
- 54 \div 5 = \mathbf{10} (kalan 4 dikkate alınmaz)
- 10 \div 5 = \mathbf{2} (bölme işlemi 5’ten küçük bir bölüme ulaşana kadar devam eder)
Adım 2 — Bölümleri Toplama
Elde edilen bölümler toplanarak 54! sayısındaki toplam 5 asal çarpanı sayısı belirlenir:
10 + 2 = 12
Bu işlem, 54! sayısının sondan 12 basamağının 0 olduğunu gösterir.
Adım 3 — 1 Çıkarma İşleminin Analizi
Sondan 12 basamağı 0 olan bir sayıdan 1 çıkarıldığında, basamaklardan onluk bozularak işlem yapılır:
\dots000000000000 - 1 = \dots999999999999
Dolayısıyla 0 adedi kadar 9 oluşur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 54! - 1 sayısının sondan 12 basamağı 9’dur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Faktöriyelde Sondan Sıfır Sayısı (Legendre Formülü)
- Tanım: n! sayısının sonundaki sıfır sayısını bulmak için sayı ardışık olarak 5’e bölünür ve elde edilen bölümler toplanır (2 çarpanı her zaman 5’ten daha fazladır).
- Bu problemde: 54 sayısı 5’e bölünerek toplam 12 adet 5 çarpanı elde edildi.
2. 10^n - 1 Prensibi
- Tanım: Sonunda n tane sıfır bulunan herhangi bir tam sayıdan 1 çıkarıldığında, tüm sıfırlar 9’a dönüşür.
- Bu problemde: 54! sayısının sonundaki 12 sıfır, 1 çıkarılınca 12 tane 9’a dönüştü.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sayıyı 10’a Bölmeye Çalışmak
- Yanlış: Faktöriyel sorularında sıfır sayısını bulmak için sayıyı doğrudan 10’a bölmek.
- Doğru: 10 bileşik sayı olduğu için asal çarpanı olan 5’e bölmek gerekir.
- Neden yanlış: Faktöriyel içindeki 10 çarpanı, 2 ve 5 asal çarpanlarının çarpımıyla oluşur. 2 çarpanı 5’ten çok daha fazla bulunduğu için belirleyici olan az sayıdaki 5 çarpanıdır.
Benzer mantıkla çözülen faktöriyelli taban aritmetiği veya basamak analizi sorularından bir örnek daha çözmemi ister misin?