bolkn
sayısının þozitif bölen saySı 42 olduğuna göre x değeri
kaçtır?
A) 2
B) 3
C)4
D) 5
E) 6
50 \cdot 10^x sayısının pozitif bölen sayısı 42 olduğuna göre x değerinin bulunması
KULLANILAN FORMÜL:
Bir A doğal sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali A = a^p \cdot b^q \cdot c^r olsun.
Pozitif Bölen Sayısı (PBS): (p+1) \cdot (q+1) \cdot (r+1) formülü ile hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıyı asal çarpanlarına ayırma
Verilen 50 \cdot 10^x ifadesini asal tabanlarda yazalım:
50 = 2 \cdot 5^2
10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x
Adım 2 — Tabanları birleştirerek ifadeyi düzenleme
Aynı tabana sahip olan sayıların üslerini toplayalım:
50 \cdot 10^x = (2^1 \cdot 5^2) \cdot (2^x \cdot 5^x)
= 2^{x+1} \cdot 5^{x+2}
Adım 3 — Pozitif bölen sayısı formülünü uygulama
Asal çarpanların üslerini 1 artırıp çarpalım ve verilen PBS olan 42’ye eşitleyelim:
PBS = (x+1+1) \cdot (x+2+1) = 42
(x+2) \cdot (x+3) = 42
Adım 4 — Denklemi çözme
Aralarında 1 fark olan hangi iki pozitif tam sayının çarpımı 42 eder?
6 \cdot 7 = 42 olduğu için:
x + 2 = 6
x = 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 4
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Asal Çarpanlara Ayırma
- Tanım: Bir sayının sadece asal sayıların çarpımı şeklinde yazılmasıdır.
- Bu problemde: Pozitif bölen sayısını bulabilmek için önce sayıyı 2^{a} \cdot 5^{b} formatına getirmemiz gerekti.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sayıyı doğrudan 50 ve 10 olarak kullanmak
- Yanlış: (1+1) \cdot (x+1) = 42 şeklinde işlem yapmak.
- Doğru: Tabanlar mutlaka asal sayı (2, 3, 5, 7 vb.) olmalıdır. 10 asal olmadığı için 2 \cdot 5 şeklinde parçalanmalıdır.
- Neden yanlış: Formül sadece asal çarpanlar üzerinden geçerlidir.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir soru çözmemi ister misin?