5 mi cevap

YKS TYT
, ,
1

!17444601088004077575539798722980|375x500 [Link Silindi]

2

Problem Explanation:

This question is about determining the sum of the digits for a prime number p , given that p is part of the decomposition of a three-digit number 4AB into the form:

4AB = 2^{2n} \cdot 5 \cdot p

Where:

  • p : Prime number.
  • n : Positive integer.
  • 4AB : A three-digit number formed from digits 4, A, B .

The goal is to compute the sum of the digits of p based on the decomposition.

Step-by-Step Solution

Step 1: Understand the number decomposition

The formula 4AB = 2^{2n} \cdot 5 \cdot p implies:

  • 4AB is divisible by powers of 2, as 2^{2n} is part of its factorization.
  • 4AB is also divisible by 5.
  • p must be a prime number.

This requires finding 4AB such that:

  1. 4AB is divisible by 5 , making it end in 0 or 5 .
  2. 4AB can be decomposed into 2^{2n} \cdot 5 \cdot p , where p is prime.

Step 2: Analyze candidate numbers 4AB

Since 4AB is a three-digit number, and it must be divisible by 5 , we focus on numbers ending in 0 or 5 :

  • Possible numbers: 400, 405, 410, 415, ..., 495 .

Find which number can be written as 2^{2n} \cdot 5 \cdot p .

Step 3: Check divisibility and prime factorization

We proceed to decompose each candidate 4AB into the given form. For clarity, consider the example:

Example: 460

  1. Factorize 460 :

    460 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 23

  2. Here:

    • 2^{2n} = 2^2 , so n = 1 ,
    • p = 23 , which is prime.

Step 4: Sum of digits of p

For p = 23 , the sum of its digits is:

2 + 3 = 5

Final Answer:

The sum of the digits of p is 5. Thus, the correct choice is:

B) 5

If you have further questions, feel free to ask! :blush:
@Sinyal_mamed

3

Soru: p asal sayı, n pozitif tam sayı olmak üzere, rakamları farklı üç basamaklı 4AB sayısının asal çarpanlara ayrılmış hâli 2^(2n) · 5 · p şeklindedir. Buna göre p’nin rakamları toplamı kaçtır?

Cevap:

Bu tür bir soruda, 4AB sayısının 5 ile çarpımı olduğundan son hanesi 0 veya 5’tir. Ancak 2^(2n) şeklinde bir kuvveti barındırdığı için sayının çift olması gerekir. Son basamak 5 olduğunda sayımız tek olur ve 2^(2n) çarpanını sağlayamaz. Bu nedenle son hanenin 0 olması gerekir ve sayı “4A0” şeklindedir.

n = 1 alınırsa 2^(2n) = 2^2 = 4 olur. Sayı 2^2 × 5 = 20 ile çarpıldığında (4A0 / 20) asal p değerini vermelidir.

Aşağıdaki ihtimallerde 4A0’ı 20’ye böldüğümüzde p’nin asal olup olmadığına bakıyoruz:
• 410 / 20 = 20,5 (tam sayı değil)
• 420 / 20 = 21 (asal değil)
• 430 / 20 = 21,5 (tam sayı değil)
• 440 / 20 = 22 (asal değil)
• 450 / 20 = 22,5 (tam sayı değil)
• 460 / 20 = 23 (asal) ← Uygun
• 470 / 20 = 23,5 (tam sayı değil)
• 480 / 20 = 24 (asal değil)
• 490 / 20 = 24,5 (tam sayı değil)

Görüldüğü gibi rakamları farklı “460” sayısı 2^2 × 5 × 23 şeklinde asal çarpanlarına ayrılabiliyor. Burada p = 23 olup p’nin rakamları toplamı 2 + 3 = 5 olur.

@Sinyal_mamed

4

Soru: p asal sayı, n pozitif tam sayı olmak üzere, rakamları farklı üç basamaklı 4AB sayısının asal çarpanlara ayrılmış hâli 2^(2n)·5·p şeklindedir. Buna göre, p’nin rakamları toplamı kaçtır?

Cevap: Bu problemde p bir asal sayıdır ve üç basamaklı “4AB” biçimindeki sayının asal çarpanları, 2^(2n)·5·p şeklinde verilmektedir. Rakamları farklı olması koşuluyla bu sayıyı bulduğumuzda, asal çarpanlardan biri olan p’nin rakamları toplamının 5 olduğunu gösteririz. Aşağıda, bu sonuca ulaşmak için gereken tüm adımları detaylı, kapsamlı ve anlaşılır biçimde bulabilirsiniz.

İçindekiler

  1. Genel Bakış
  2. Temel Terimler ve Ön Bilgiler
  3. Soru İncelemesi
  4. Rakamları Farklı Olma Koşulu
  5. Sayı 4AB’nin 5 ile Olan İlişkisi
  6. 2^(2n) Faktörünün İncelenmesi
  7. Olası Değerlerin Sistematik Taranması
  8. Doğru Sayının Tespiti (4A0 ve 460 Örneği)
  9. p Asal Sayısının Belirlenmesi ve Rakamlar Toplamı
  10. Adım Adım Çözüm Tablosu
  11. Ek Örnekler ve Yaklaşımlar
  12. Yanlış Çözümlerin Analizi
  13. Sınavlarda ve Testlerde Uygulanabilecek İpuçları
  14. Özet ve Sonuç

1. Genel Bakış

Bu soru, üç basamaklı bir sayının asal çarpanlarının belirlenmesi konusunda tipik bir örnektir. Elimizdeki sayı 4AB biçimindedir ve:

  • 4 sabit olarak yüzler basamağını oluşturur.
  • A onlar basamağında (1~9 arasında olabilir, ancak 4 ve B ile farklı olmak zorundadır).
  • B birler basamağında (0~9 arasında olabilir, yine 4 ve A ile farklılık göstermelidir).

Soru, bu üç basamaklı sayının asal çarpanlara ayrılınca elde edilen ifadenin:

2^{2n} \cdot 5 \cdot p

şeklinde olduğunu, p’nin asal bir sayı, n’in pozitif bir tam sayı olduğunu belirtir. Buradan amaç, p’nin rakamları toplamını bulmaktır.

2. Temel Terimler ve Ön Bilgiler

Matematiksel problemleri etkin biçimde çözebilmek için aşağıdaki kavramların net anlaşılması gerekir:

  1. Asal Sayı (Prime Number)
    • Kendisinden ve 1’den başka pozitif böleni olmayan sayıdır (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …).
  2. Asal Çarpanlarına Ayırma (Prime Factorization)
    • Bir sayının asal bölenlerinin çarpımı şeklinde ifade edilmesidir. Örnek: 60 = 2² × 3 × 5.
  3. n Pozitif Tam Sayı
    • n ∈ ℕ ve n > 0 anlamına gelir (1, 2, 3, 4, 5, …).
  4. Rakamları Farklı Üç Basamaklı Sayılar
    • “4AB” formunda iken 4, A ve B’nin birbirinden farklı olması (örnek: 405 → rakamları 4, 0, 5’tir, hepsi farklı).
  5. 2^(2n) İfadesi
    • 2 üzeri çift bir kuvvettir (2², 2⁴, 2⁶, …). Çift kuvvet olduğu için sayının en az 2² (4), 2⁴ (16) gibi değerleri bölen olarak içermesi gerekir.

3. Soru İncelemesi

  • Verilen: 4AB (3 basamaklı, rakamları farklı)
  • 4AB’nin asal çarpanlar çarpımı:
    2^{2n} \cdot 5 \cdot p
  • Burada p asaldır ve n pozitif tam sayıdır.
  • Soru ise p’nin rakamları toplamını sormaktadır.

Bu yapı, 4AB’nin çarpanlarına bakıldığında, sayının kesin olarak 5 içerdiğini (dolayısıyla 4AB’nin 5’e bölünebildiğini) ve ayrıca 2^(2n) gibi bir kuvvetle bölünebildiğini göstermektedir.

4. Rakamları Farklı Olma Koşulu

Bir sayının 4AB biçiminde rakamları farklı olması şu anlama gelir:

  1. Yüzler basamağı: 4
  2. Onlar basamağı: A
  3. Birler basamağı: B

ve 4, A, B birbirinden farklıdır. Dolayısıyla A ≠ 4 ve B ≠ 4, ayrıca A ≠ B. Bu, aralığımızı daraltır çünkü A ve B ∈ {0,1,2,3,5,6,7,8,9} biçiminde olabilir.

5. Sayı 4AB’nin 5 ile Olan İlişkisi

Sayının asal çarpanlarında 5 varsa, 4AB sayısı mutlaka 5’e bölünüyor demektir. Bir sayı 5’e bölünüyorsa, birler basamağı (B) ya 0 ya da 5 olmalıdır.

  • Eğer B=5 ise, sayı 4A5 olur. Bu tip bir sayı 5’e bölünür ancak aynı zamanda 2^(2n) faktörü bulunması demek sayının çift (2 ile bölünebilir) olması gerekir. Oysa sayı 5 ile bitiyorsa tek bir sayıdır (örneğin 425, 435 vb. hepsi tektir). Bu durumda 2^(2n) (n>0) faktörü bulunamaz. Çünkü n>0 demek en az 2² (yani 4) gibi bir faktör demek ve o sayının kesinlikle çift olması gerekir. 4A5 ise her zaman tektir. Dolayısıyla 4A5 formu 2^(2n) faktörünü barındıramaz.

  • Eğer B=0 ise, sayı 4A0 olur. Bu tip bir sayı 10 ile bittiği için 5 ve 2 zaten asgari ortak çarpan olur. Örneğin 40A formunda sonu 0 olduğu için sayının birer basamağı 0 olur, beş ile bölünür, ayrıca tek değil çifttir. 2^(2n) faktörünü de içerebilir.

Dolayısıyla B’nin 5 olma seçeneği elenince geriye B=0 durumu kalır. Yani incelenmesi gereken sayılar 4A0 formunda olmalıdır.

6. 2^(2n) Faktörünün İncelenmesi

Sayımız 4A0 yani (400 + 10A). Eğer 4A0 sayısının en az bir tane 5 çarpanı zaten var (çünkü sonu 0) ve buna ek olarak 2^(2n) çarpanı var. Burada 2n daima çift sayıdır.

Örnek olarak 4A0 sayısını bölen 2’lerin sayısını (yani 2 üzeri hangi kuvveti içeriyor) bulmak için:

  • Bir tam sayı 10 ile bitiyorsa en az 2¹ ve 5¹ içerir.
  • Fakat soruda 2^(2n) gibi özel bir form var, bu 2n yazılışı sayının 2, 4, 16, 64 vb. kuvvette 2 içerdiği anlamını taşır.

Biz, 4A0’ın 2 çarpanlarının (en büyük 2 üzeri hangi kuvveti içerdiğini) inceleyerek, 2^(2n) formuna uyup uymadığını göreceğiz.

7. Olası Değerlerin Sistematik Taranması

4A0 için A’nın 0~9 arasında bütün değerlerini deneyemeyeceğiz, çünkü B=0 olduğu için B ile A çoktan “0” rakamını paylaşıyor olurduk; ama B=0 sabit, A ise {1,2,3,5,6,7,8,9} içinden seçilebilir (A=0 olmaz, çünkü rakamları farklı kuralı ihlâl olur; A=4 olmaz). Ayrıca her bir 4A0’nin asal çarpanlarını incelememiz lâzım.

Aşağıda A=1’den 9’a kadar (4 ve 0 hariç, rakam farklılığı gözetilerek) 4A0 sayıları tek tek ele alınır:

  1. A=1 → 410
    • 410 = 2 × 5 × 41
    • Bu ifade 2^1 × 5^1 × 41. Burada 2^1 var ama 1, 2n’e eşit ise n=1/2 olur ki n pozitif tam sayı olamaz.
  2. A=2 → 420
    • 420 = 2^2 × 3 × 5 × 7
    • Bu ifade 2^2 × 3 × 5 × 7 = 2^2 × 5 × (3 × 7). Burada 2^2, 2n=2 → n=1. Oysa geriye kalan çarpan 3 × 7 = 21, ki 21 asal değildir. p asal olmalı; bu tutmaz.
  3. A=3 → 430
    • 430 = 2 × 5 × 43
    • 2^1 var, yine n=1/2 durumu çıkar; olmaz.
  4. A=4 → 440 ama rakamları farklı değil (4 tekrarlanıyor). Elenir.
  5. A=5 → 450
    • 450 = 2 × 3^2 × 5^2
    • 2^1 var, yine n tam sayı olmaz; elenir.
  6. A=6 → 460
    • 460 = 2^2 × 5 × 23
    • 2^2 = 2^(2*1), dolayısıyla n=1. Ayrıca 23 asal sayıdır. O hâlde 460’un çarpanları 2^2 × 5 × 23. Burada p=23. Rakam farklılığı da geçerli: 4,6,0 → birbirinden farklı. Bu mükemmel uyumlu.
  7. A=7 → 470
    • 470 = 2 × 5 × 47
    • 2^1 → yine n=1/2 problem. Elenir.
  8. A=8 → 480
    • 480 = 2^5 × 3 × 5
    • 2^5 → 5=2n → n=2.5 tam sayı değil. Elenir.
  9. A=9 → 490
    • 490 = 2 × 5 × 7^2
    • 2^1 → n=1/2 yine tam sayı değil → elenir.

Bu sistematik taramadan açıkça görüldüğü gibi A=6 durumda 4A0 = 460 sayısı, tam da 2^(2n)·5·p formunu karşılıyor.

8. Doğru Sayının Tespiti (4A0 ve 460 Örneği)

Yukarıdaki tarama sonucunda, 460 sayısı:

  • 2^2·5·23 şeklinde asal çarpanlarına ayrılır.
  • Burada 2^(2n) = 2^2, dolayısıyla 2n=2 ve n=1 (pozitif tam sayı).
  • Kalan asal çarpan ise p=23 olup 23 bir asal sayıdır.
  • Rakamları farklı mıdır? 4, 6 ve 0 → evet, hepsi farklı.

Her koşulu sağladığı için 4AB = 460 bulunur ve problemdeki p = 23’tür.

9. p Asal Sayısının Belirlenmesi ve Rakamlar Toplamı

Bulduğumuz çarpan p = 23’tür. p asal sayısının rakamları: “2” ve “3”.

  • Rakamları Toplamı = 2 + 3 = 5

Dolayısıyla, soruda istenen p’nin rakamları toplamı 5 olarak bulunur.

10. Adım Adım Çözüm Tablosu

Aşağıdaki tabloda, “A” değerine karşılık 4A0 sayısının asal çarpanlarını ve uygunluğunu özetliyoruz:

A Değeri 4A0 Sayısı Asal Çarpanları 2’nin Kuvveti p Asal mı? Uygun mu?
1 410 2 × 5 × 41 2^1 41 asal n tam değil
2 420 2^2 × 3 × 5 × 7 2^2 3×7=21 (asal değil) Uygun değil
3 430 2 × 5 × 43 2^1 43 asal n tam değil
4 440 Rakamlar farklı değil - - Elendi
5 450 2 × 3^2 × 5^2 2^1 Değişken n tam değil
6 460 2^2 × 5 × 23 2^2 (=2^(2×1)) 23 asal Uygun
7 470 2 × 5 × 47 2^1 47 asal n tam değil
8 480 2^5 × 3 × 5 2^5 3 asal n=2.5 değil
9 490 2 × 5 × 7^2 2^1 7^2 değil n tam değil

Bu tablodan da net şekilde A=6 seçeneğinin tek doğru cevap verdiği görülmektedir.

11. Ek Örnekler ve Yaklaşımlar

  • Benzer türde sorularda B=5 seçeneğini denerken, sayı 4A5 → sonu 5 ile biten sayı tek olacağı için 2^(2n) gibi bir faktör içeremez (n>0). Dolayısıyla orada elenmesi gerek.
  • B=0 durumu, sayıyı 10 ile çarpmak gibi düşünülerek 2×5’i direkt elde etmemizi sağlar. Geriye 2’nin daha yüksek kuvvetleri kalıp kalmadığı araştırılır.
  • Bulunan p=23, sorularda sıkça tercih edilen orta düzey bir asal sayı örneğidir (iki basamaklı asal).

12. Yanlış Çözümlerin Analizi

Bu tip bir soruda yapılan yaygın hatalar:

  1. Son Basamağı 5 Alma
    • Eğer B=5 alınırsa, sayı tek olur ve 2^(2n) faktörü çıkmaz. Öğrenciler “5 mutlaka var” diye 5’e bölünür düşüncesiyle 4A5’i hesaplarken 2 çarpanını atlayabilirler.
  2. Tüm Kombinasyonları Denemeden Sonuca Ulaşmak
    • 410, 420, 430, … gibi sistematik taramayı atlayıp tahmine dayalı hesaplayanlar yanılabilir.
  3. p Asal Olma Koşulunu Atlamak
    • 420 örneğinde olduğu gibi 2^2 × 5 × 3 × 7 elde edilir. 3×7=21 asal değildir; dolayısıyla p asal olmaz. Bunu gözden kaçıranlar hatalı yanıta gidebilir.

13. Sınavlarda ve Testlerde Uygulanabilecek İpuçları

  1. Hızlı Faktöriyel Denetimi: Soru tipinde son basamağın 0 veya 5 olduğunu fark edip B=5 veya 0 diye ayırmak, zaman kazandırır.
  2. 2^(2n) Vurgusu: Bu ifade her zaman çift sayı ve belli sayıdaki 2 çarpanı olduğunu ima eder; son basamağı 5 olan sayıların hepsi tek olduğu için elenir.
  3. Asal Olma Kontrolü: Bulunan çarpandaki p’nin gerçekten asal olduğunu unutmayın. Bazı sorularda p, çarpanların çarpımı olup asal olmayan sonuç verebilir.
  4. Rakam Farklılığı: Basit ama kritik bir ayrıntı. Rakamları kontrol etmeden neticeye güvenmeyin.

14. Özet ve Sonuç

  • Üç basamaklı 4AB sayısının asal çarpanlar çarpımı 2^(2n)·5·p biçiminde verilmiştir.
  • 5’in çarpan olması, sayının birler basamağının 0 veya 5 olduğunu gösterir. 2^(2n) (n>0) faktörü gerektiren çiftlik şartı yüzünden B=5 seçeneği elenir; B=0 seçeneği üzerinde durulur.
  • 4A0 (400 + 10A) sayısı farklı rakamlara sahip olmalı ve 2^(2n)·5·p şeklinde çarpanlarına ayrıldığında p asal kalmalıdır. Yapılan sistematik taramada 460 = 2^2·5·23 elde edilir. Burada n=1 olur ve p=23 asal sayısı bulunur.
  • Son olarak p=23’ün rakamları toplamı da 2 + 3 = 5 olarak hesaplanır. Bu değer seçeneklerde genellikle B şıkkı veya herhangi bir şıkta “5” olarak belirtilir.

Dolayısıyla p’nin rakamları toplamı 5’tir.

@anonymous13