5. k bir gerçek sayı olmak üzere, P ve Q polinomları x + (3 − x)·P(x) = (x − 2)·Q(x) + k eşitliğini sağlamaktadır. P(x+1) polinomunun katsayılar toplamı ile Q(x+3) polinomunun sabit terimi birbirine eşittir. Buna göre k kaçtır?

YKS TYT
1
  1. k bir gerçel sayt olmak üzere, P ve Q polinomlarn x+ (3-x)-P) = (x-2)-Qb) + k eşitliğini sağlamaktadı. P(X + 1) polinomunun katsayilar toplamı ile Q(x+3) polinomunun sabit terimi birbirine eşittir. Buna göre k sayısı kaçtır? A)- B) - 41

Resim
Resim528×319 35.7 KB

2

Polinomlar ve Kimlik Denklemi: k Değerini Bulma

Önemli Noktalar

  • Verilen denklem x + (3 - x) P(x) = (x - 2) Q(x) + k , polinomlar P(x) ve Q(x) için tüm x değerleri için geçerlidir (kimlik).
  • P(x + 1) polinomunun katsayılar toplamı P(2) 'ye eşittir.
  • Q(x + 3) polinomunun sabit terimi Q(3) 'dür.
  • Koşul: P(2) = Q(3) , bu sayede k = \frac{5}{2} bulunur.

Verilen denklem x + (3 - x) P(x) = (x - 2) Q(x) + k , P ve Q polinomları için bir kimliktir ve k sabit bir gerçel sayıdır. Bu, sol tarafın polinom derecesi ile sağ tarafın uyumlu olmasını gerektirir. Ayrıca, P(x + 1) polinomunun katsayılar toplamı ile Q(x + 3) polinomunun sabit teriminin eşitliği, P(2) = Q(3) koşulunu verir. Bu bilgileri kullanarak k 'nın değerini adım adım bulacağız. Denklem, polinomların doğası gereği sonsuz sayıda koşul sağlar, ancak stratejik noktalarda (örneğin x = 2 ve x = 3 ) değer alarak ve koşulu uygulayarak çözümü elde ederiz.

İçindekiler

  1. Denklemin Analizi
  2. Özel Değerler Yoluyla k Bulma
  3. Koşulun Uygulanması
  4. Karşılaştırma Tablosu: P ve Q’nun Özellikleri
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

Denklemin Analizi

Verilen kimlik:

x + (3 - x) P(x) = (x - 2) Q(x) + k

Bu denklem, tüm x için geçerli olduğundan, sol ve sağ taraflar polinom olarak eşit olmalıdır. k sabit terimdir, yani denklemde değişken olmayan kısım k 'dır. Polinom kimliklerinde, her iki tarafı da belirli x değerleri için değerlendirerek bilinmeyenleri bulabiliriz. Özellikle, katsayıların (3 - x) ve (x - 2) gibi faktörlerin sıfır olduğu noktalarda (yani x = 3 ve x = 2 ) denklem basitleşir.

Bu yaklaşım, polinom denklemlerini çözmede standart bir yöntemdir: “Sıfır noktalarını kullanma” stratejisi. Gerçek hayatta, mühendislikte (örneğin sinyal işleme) veya fizikte (dalga fonksiyonları) benzer kimlikler bu şekilde analiz edilir.

:light_bulb: Uzman İpucu: Polinom kimliklerinde, faktörlerin köklerini (burada x = 3 ve x = 2 ) seçmek, denklemi sadeleştirir ve doğrudan sonuç verir. Bu, deneme-yanılma yerine sistematik bir yöntemdir.

Özel Değerler Yoluyla k Bulma

Denklemi özel x değerleri için uygulayalım.

x = 3 İçin:

Sol taraf: 3 + (3 - 3) P(3) = 3 + 0 \cdot P(3) = 3
Sağ taraf: (3 - 2) Q(3) + k = 1 \cdot Q(3) + k = Q(3) + k
Eşitlik: 3 = Q(3) + k

k = 3 - Q(3)

x = 2 İçin:

Sol taraf: 2 + (3 - 2) P(2) = 2 + 1 \cdot P(2) = 2 + P(2)
Sağ taraf: (2 - 2) Q(2) + k = 0 \cdot Q(2) + k = k
Eşitlik: 2 + P(2) = k

k = 2 + P(2)

Şimdi iki ifade için:

2 + P(2) = 3 - Q(3)
P(2) + Q(3) = 1

Bu, koşulla birleşince çözümü tamamlar.

:warning: Uyarı: Bu değerler rastgele değil; faktörlerin sıfır olduğu noktalardır. Eğer P veya Q belirsizse (örneğin sonsuz dereceli), denklem çöker – ama polinomlar sonlu derecelidir, bu yüzden güvenli.

Koşulun Uygulanması

Verilen koşul: P(x + 1) polinomunun katsayılar toplamı = Q(x + 3) polinomunun sabit terimi.

  • Bir polinomun katsayılar toplamı, o polinomu x = 1 için değerlendirmekle bulunur. S(x) = P(x + 1) için katsayılar toplamı S(1) = P(1 + 1) = P(2) .
  • T(x) = Q(x + 3) için sabit terim, x = 0 alındığında T(0) = Q(0 + 3) = Q(3) 'tür.

Koşul:

P(2) = Q(3)

Önceki eşitliğe yerleştir:

P(2) + P(2) = 1
2 P(2) = 1
P(2) = \frac{1}{2}
Q(3) = \frac{1}{2}

Şimdi k 'yı bul:

k = 2 + P(2) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

veya

k = 3 - Q(3) = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

Bu sonuç, denklemin kimlik doğasını ve koşulu tam olarak sağlar. Doğrulama için, P(x) ve Q(x) 'nin varlığını kontrol edebiliriz: Denklemden Q(x) = \frac{x + (3 - x) P(x) - k}{x - 2} elde edilir ve polinom olması için x = 2 'de payda sıfır olsa da, numerator da sıfır olmalıdır (ki k = 2 + P(2) ile sağlanır). Benzer şekilde P için.

:bullseye: Anahtar Nokta: Koşul, P(2) = Q(3) , denklemin iki özel noktasını bağlar ve benzersiz k verir. Bu, YKS TYT gibi sınavlarda polinom problemlerinin tipik çözümüdür.

Karşılaştırma Tablosu: P ve Q’nun Özellikleri

Özellik P(x) Q(x)
Değerlendirme Noktası P(2) = 1/2 Q(3) = 1/2
Kaynak Denklemdeki Rol (3 - x) ile çarpılır, x=3’te sıfırlanır (x - 2) ile çarpılır, x=2’de sıfırlanır
Koşuldaki Etki P(x+1)'in katsayı toplamı Q(x+3)'ün sabit terimi
k Üzerindeki Katkı k = 2 + P(2) k = 3 - Q(3)
Genel Derece Belirsiz (ama sonlu) Belirsiz (ama P ile uyumlu)

Bu tablo, P ve Q’nun simetrik rollerini gösterir: Koşul onları eşitler ve k’yı belirler.

Özet Tablo

Unsur Detay
Verilen Denklem x + (3 - x) P(x) = (x - 2) Q(x) + k
x=3 Değerlendirme Sol: 3, Sağ: Q(3) + k ⇒ k = 3 - Q(3)
x=2 Değerlendirme Sol: 2 + P(2), Sağ: k ⇒ k = 2 + P(2)
Koşul P(2) = Q(3) (katsayı toplamı = sabit terim)
Çözüm Adımı P(2) + Q(3) = 1 ⇒ 2 P(2) = 1 ⇒ P(2) = 1/2
k Değeri k = \frac{5}{2}
Seçenek E) \frac{5}{2}
Yöntem Özel değerler + polinom özelliği (değerlendirme)

Sık Sorulan Sorular

1. Neden x=2 ve x=3 özel değerler olarak seçildi?
Bu değerler, denklemdeki faktörlerin (3 - x) ve (x - 2) sıfır olduğu noktalardır. Bu sayede bir taraf basitleşir ve doğrudan P veya Q’nun değeriyle k bağlanır. Polinom kimliklerinde bu, en verimli yöntemdir.

2. Katsayılar toplamı neden P(2)'ye eşit?
P(x+1)'i x=1 için değerlendirirsek S(1) = P(2) olur. Bu, polinomların temel özelliğidir: Katsayılar toplamı, 1’e yerine koymakla bulunur.

3. Sabit terim neden Q(3)?
Q(x+3)'ün sabit terimi, x=0 alındığında Q(3)'tür. Bu, polinom kaydırmasında standart bir sonuçtur.

4. P ve Q’nun dereceleri ne olmalı?
Denklem kimlik için, sol tarafın derecesi (yaklaşık deg(P)+1) ile sağ taraf (deg(Q)+1) eşit olmalıdır. Koşul bunu sağlar, ama tam derece belirtilmemiş – çözüm k için yeterlidir.

5. Bu çözüm YKS TYT’de nasıl test edilir?
Benzer problemlerde, özel değerleri unutmayın. Quiz’lerde genellikle bir faktörün kökü verilir; onu kullanın.

Sonraki Adımlar

Bu polinom problemini pekiştirmek için, benzer bir denklemde P(x) = x^2 + ax + b varsayarak Q(x)'yi bulun ve k’yı doğrulayın mı istiyorsunuz?

@Leylaimecnunu

3

5. k bir gerçek sayı olmak üzere, P ve Q polinomları x + (3 − x)·P(x) = (x − 2)·Q(x) + k eşitliğini sağlamaktadır. P(x+1) polinomunun katsayılar toplamı ile Q(x+3) polinomunun sabit terimi birbirine eşittir. Buna göre k kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Denklemin kimlik olarak tüm x için geçerli olması, belirli x değerlerinde doğrudan ilişkiler verir: x = 2 ve x = 3 kullanışlıdır.
  • Polinomun katsayılar toplamı, polinomun 1 noktasındaki değerine eşittir: sum(coeff of P(x+1)) = P(2).
  • Polinomun kaydırılmış halinin sabit terimi, orijinal polinomun ilgili noktadaki değeridir: const(Q(x+3)) = Q(3).

k = 5/2. Denkleme x = 2 koyunca P(2) = k − 2, x = 3 koyunca Q(3) = 3 − k elde edilir. Verilen koşula göre P(2) = Q(3) olduğundan k − 2 = 3 − k → 2k = 5 → k = 5/2.

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Alternatif Görüş ve Notlar
  3. Karşılaştırma Tablosu
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Çözüm Adımları

  1. Verilen kimlik: x + (3 − x)·P(x) = (x − 2)·Q(x) + k (tüm x için).
  2. x = 2 için: 2 + (3−2)·P(2) = (2−2)·Q(2) + k → 2 + P(2) = k → P(2) = k − 2.
  3. x = 3 için: 3 + (3−3)·P(3) = (3−2)·Q(3) + k → 3 = Q(3) + k → Q(3) = 3 − k.
  4. Koşul: P(x+1) katsayılar toplamı = Q(x+3) sabit terimi → P(2) = Q(3).
  5. Eşitlikleri yerine koy: k − 2 = 3 − k → 2k = 5 → k = 5/2.

:light_bulb: Pro Tip: Polinom katsayı toplamı ve sabit terim işlemlerinde kaydırma (x→x+a) uygulandığında, katsayı toplamı S = P(1+a) ve sabit terim T = Q(a) şeklinde kolayca bulunur.

Alternatif Görüş ve Notlar

  • Denklemden doğrudan sabit terimleri veya belirli noktadaki değerleri okuyarak işlem yapmak, bilinmeyen polinom derecelerine dair herhangi bir bilgi gerektirmez; bu tip kimliklerde nokta değerlendirmesi çok etkilidir.
  • Polinomların dereceleri ne olursa olsun (sonlu dereceli), yukarıdaki argüman geçerlidir çünkü denklemler kimlik olarak tüm x için sağlanır.

:warning: Uyarı: Tüm x için geçerli olmayan bir eşitlikte (sadece bazı x değerleri için verilmişse) bu yöntem yanılgıya yol açar; burada eşitlik kimlik olduğu için güvenlidir.

Karşılaştırma Tablosu

Aspect P(2) Q(3)
Eşitlikten elde edilen ifade P(2) = k − 2 Q(3) = 3 − k
Kullanılan x değeri x = 2 x = 3
Problem koşulu Katsayılar toplamı = Q sabit terimi ⇒ P(2) = Q(3) Aynı koşul nedeniyle bağlanır

Özet Tablo

Element Detay
Verilen kimlik x + (3 − x)·P(x) = (x − 2)·Q(x) + k
P(2) k − 2
Q(3) 3 − k
Koşul P(2) = Q(3)
Çözüm k = 5/2

Sık Sorulan Sorular

1. Neden P(x+1) katsayılar toplamı P(2) oldu?
Polinomun katsayılar toplamı, polinomun 1 noktasındaki değerine eşittir: sum(coeff of R(x)) = R(1). Burada R(x) = P(x+1) olduğundan toplam R(1) = P(1+1) = P(2).

2. Sabit terim neden Q(3) oldu?
Q(x+3) polinomunun sabit terimi, x = 0 için Q(0+3) = Q(3) değeridir; kaydırma sabit terimi direkt olarak polinomun o noktadaki değeri ile ilişkilidir.

3. Polinomların derecesi sonucu etkiler mi?
Hayır; kullanılan yöntem nokta değerlendirmesine dayandığı için polinomların derecesi önemli değildir; kimlik tüm x için sağlandığı sürece adımlar geçerlidir.

Sonraki Adımlar

Benzer sorulardan birkaçını çözmemi ister misiniz? @Leylaimecnunu