\frac{5}{9} + \frac{8}{5 + \frac{4}{a - 2}} = 2,5 + 0,05 + 0,005 + 0,0005 + \dots
olduğuna göre a kaçtır?
A) -2
B) -1
C) 0
D) 3
E) 4
Devirli Ondalık Sayılar ve Merdivenli Kesir Denklemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Sonsuza giden devirli ondalık gösterimler rasyonel sayıya çevrilirken 0,\bar{x} = \frac{x}{9} kuralı uygulanır; ardından merdivenli rasyonel denklem adım adım tersten işlem (balon yöntemi) yapılarak çözülür.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Eşitliğin Sağ Tarafını (Devirli Ondalık Kısmı) Rasyonel Sayıya Dönüştürme
Eşitliğin sağındaki sonsuz toplam incelendiğinde 5 rakamının devrettiği görülür:
2,5 + 0,05 + 0,005 + \dots = 2,555\dots = 2,\bar{5}
Bu devirli ondalık sayıyı tam sayılı veya bileşik kesre çevirelim:
2,\bar{5} = 2 + 0,\bar{5} = 2 + \frac{5}{9} = \frac{23}{9}
Adım 2 — Denklemi Sadeleştirme
Bulunan değeri denklemde yerine yazarak her iki taraftaki \frac{5}{9} terimlerini sadeleştirelim:
\frac{5}{9} + \frac{8}{5 + \frac{4}{a - 2}} = \frac{5}{9} + 2
\frac{8}{5 + \frac{4}{a - 2}} = 2
Adım 3 — İç İçe Kesir Bölümünü Çözme ve a Değerini Bulma
Payı 8 olan kesrin sonucunun 2 çıkması için paydanın 4 olması gerekir:
5 + \frac{4}{a - 2} = 4
\frac{4}{a - 2} = 4 - 5 = -1
Buradan payda değerini çekelim:
a - 2 = \frac{4}{-1} = -4
a = -4 + 2 = -2
CEVAP: A) -2 (a = -2)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Sağ taraftaki 2,555\dots açılımını doğrudan 2 + \frac{5}{9} olarak ayırmak, sol taraftaki \frac{5}{9} ile anında birbirini götürmesini sağlar; böylece payda eşitleme ile vakit kaybetmeden işlem birkaç saniyede çözülür.