(\frac{5}{7})^{3x-10} < (\frac{49}{25})^{x-2} eşitsizliğinin gerçek sayılardaki çözüm kümesini bulunuz.
Üstel Eşitsizliklerde Basit Kesir Tabanı ve Çözüm Kümesi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Tabanı 0 < a < 1 olan basit kesirli üstel eşitsizliklerde a^{f(x)} < a^{g(x)} iken azalan fonksiyon özelliğinden dolayı eşitsizlik yön değiştirir ve f(x) > g(x) olur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Tabanları Eşitleme
Eşitsizliğin sağ tarafındaki \frac{49}{25} kesrini, sol tarafın tabanı olan \frac{5}{7} cinsinden kuvvet olarak yazalım:
\frac{49}{25} = \left(\frac{7}{5}\right)^2 = \left(\frac{5}{7}\right)^{-2}
Bu ifadeyi eşitsizlikte yerine yazarak üssün üssü kuralını uygulayalım:
\left(\frac{5}{7}\right)^{3x-10} < \left[\left(\frac{5}{7}\right)^{-2}\right]^{x-2} \implies \left(\frac{5}{7}\right)^{3x-10} < \left(\frac{5}{7}\right)^{-2x+4}
Adım 2 — Üsleri Karşılaştırma ve Eşitsizliği Çözme
Taban olan \frac{5}{7} sayısı 0 ile 1 arasında bir basit kesir (0 < \frac{5}{7} < 1) olduğundan, üsler karşılaştırılırken küçüktür (<) işareti büyüktür (>) işaretine dönüşür:
3x - 10 > -2x + 4
3x + 2x > 4 + 10
5x > 14 \implies x > \frac{14}{5}
CEVAP: \left(\frac{14}{5}, \infty\right) (x > \frac{14}{5})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Taban 1’den küçük pozitif bir sayı olduğunda üs büyüdükçe değer küçülür; bu nedenle tabanlar sadeleştirilirken eşitsizlik işaretinin mutlaka yön değiştirmesi gerektiği unutulmamalıdır.