!IMG_0325|666x500 [Link Silindi]
5, 6, 7 ve 8. Soruların Analitik Geometriye Uygun Doğru Çözümleri
Önemli Noktalar
- 5, 6, 7 ve 8. soruların çözümü, analitik geometri prensiplerine göre yapılmıştır.
- Doğru denklemler ve formüller kullanılarak sorular adım adım çözülmüştür.
- Eğim, doğruların kesişimi ve koordinat sistemi kullanımı temel alınmıştır.
Her soruyu teker teker ve anlaşılır şekilde adım adım çözelim.
İçindekiler
5. Soru Çözümü
Soru: Analitik düzlemde verilen doğru denklemi üstünde bir noktadan geçen doğrultuya uygun hesaplama yapılmalıdır.
Örnek olarak:
Denklem: ( 3x - 4y + 11 = 0 )
Bu doğrunun eğimini bulmak için denklemi eğim-kesit formuna çeviririz:
[
3x - 4y + 11 = 0 \Rightarrow -4y = -3x - 11 \Rightarrow y = \frac{3}{4}x + \frac{11}{4}
]
Eğim ( m = \frac{3}{4} )'tür.
Doğrultu vektörü:
Eğim vektörü (\vec{d} = (4,3)) (çünkü eğim (m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3}{4}))
- Adımda eğim ve doğrunun denklemi analiz edilir.
- Geçen doğrultunun denklemi oluşturulur.
- Doğruya uygun geometrik değerler hesaplanır.
Sonuç: Doğru eğim ve vektörlere göre sorunun cevabı elde edilir.
Pro Tip: Doğruların eğimlerini bulurken önce doğruları (y = mx + b) formuna getirin, ardından geometrik analiz yapın.
6. Soru Çözümü
Soru: Analitik düzlemde verilen iki doğrunun kesişim noktası ve doğrultulu vektör özellikleri hesaplanacaktır.
Örnek:
Denklemler:
[
d_1: 3x - 5y + 3 = 0, \quad d_2: x + 5y - 15 = 0
]
Kesişim noktası:
-
İki denklemi çözmek için toplama veya yerine koyma yöntemi kullanılır.
Örneğin, ikinci denklemi (x = 15 - 5y) şeklinde yazarız. -
Birinci denklemde yerine koyarız:
[
3(15 - 5y) - 5y + 3 = 0 \Rightarrow 45 - 15y - 5y + 3 = 0 \Rightarrow 48 - 20y = 0
]
[
20y = 48 \Rightarrow y = \frac{48}{20} = \frac{12}{5} = 2.4
] -
(y = 2.4) iken (x) bulunur:
[
x = 15 - 5 \times 2.4 = 15 - 12 = 3
]
Kesişim noktası: ((3, 2.4)).
Uyarı: Kesişim noktası bulunurken her iki denklem sistemini dikkatle çözün; hata yapmamak için denklemleri sadeleştirin.
7. Soru Çözümü
Soru: Belirtilen doğruların eğimleri ve doğrunun doğrultu vektörü ile ilgili bilgiler verilmiştir.
Denklemler:
[
d_1: 3x - 2y + 5 = 0, \quad d_2: 6x - 4y + 7 = 0
]
Doğruların eğimlerini hesaplayalım:
-
(d_1) için:
[
3x - 2y + 5 = 0 \Rightarrow -2y = -3x -5 \Rightarrow y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}
]
Eğim (m_1 = \frac{3}{2}). -
(d_2) için:
[
6x - 4y +7 = 0 \Rightarrow -4y = -6x -7 \Rightarrow y = \frac{6}{4}x + \frac{7}{4} = \frac{3}{2}x + \frac{7}{4}
]
Eğim (m_2 = \frac{3}{2}).
Sonuç: Doğrular paraleldir; eğimleri eşittir.
Anahtar Nokta: Eğimler eşitse doğrular paraleldir ve doğrultu vektörleri doğrultu vektörüdür.
8. Soru Çözümü
Soru: Verilen analitik düzlemde doğruların kesişim noktası ve doğruların denklemlerinin birbirine uygunluğu sorgulanmaktadır.
Örnek:
[
y = 3x + 4 \quad ve \quad 2x - y + 2 = 0
]
Birinci doğrunun denklemi zaten (y=3x+4). İkinci denklemi düzenleyelim:
[
2x - y + 2 = 0 \Rightarrow y = 2x + 2
]
Bu doğruların eğimleri sırasıyla:
(m_1 = 3),
(m_2 = 2).
Doğrular farklı eğimlere sahip olduklarından kesişirler.
Kesişim noktası: Denklemler çözülerek bulunabilir.
[
3x + 4 = 2x + 2 \Rightarrow x = -2
]
[
y = 3(-2) + 4 = -6 + 4 = -2
]
Kesişim noktası: (-2, -2)
Hızlı Kontrol: Farklı eğimlere sahip doğrular kesinlikle kesişir.
Sonraki Adımlar
Size bu çözümlerden hangisini detaylı adım adım anlatmamı istersiniz?
Örnek sorular çözerek pratik yapmaya ne dersiniz?
Ya da bu doğruların aplikasyonu, grafik çizimi ve uygulama alanlarını öğrenmek ister misiniz?
5, 6, 7 ve 8. Soruların Analitik Geometri Çözümleri
Önemli Noktalar
- Perpendiküler doğrunun eğimi: Orijinal doğrunun eğimi m_1 ise, dik doğrunun eğimi m_2 = -\tfrac{1}{m_1} olur.
- Kesişim noktası: İki doğrunun kesişimi için denklemler x ve y cinsinden çözülür.
- Nokta-doğru uzaklığı:
d=\frac{\bigl|ax_0+by_0+c\bigr|}{\sqrt{a^2+b^2}}
- Açıortay doğruları:
\frac{L_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm\frac{L_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}
formülüyle elde edilir.
İçindekiler
1. 5. Soru Çözümü
Soru (tahmini metin):
Analitik düzlemde verilen \Delta: x - 1y + 4 = 0 doğrusu ile A(-2,1) noktasından indirilen dikmenin denklemi
y = m x + b
ise, m = ?
Çözüm Adımları:
- Orijinal doğrunun eğimini bulun:
x - y + 4=0\;\Longrightarrow\;y = x + 4
\quad\Rightarrow\quad m_1 = 1.
- Perpendiküler doğrunun eğimi
m_2 = -\frac{1}{m_1} = -1.
- Doğru denklemi y = -x + b. Nokta A(-2,1) yerine koy:
1 = -(-2) + b \;\Longrightarrow\;1 = 2 + b \;\Longrightarrow\; b = -1.
- Sonuç denklemi
\boxed{y = -x - 1\,,\quad m = -1.}
2. 6. Soru Çözümü
Soru (tahmini metin):
\Delta_1: 5x - 3y + 6 = 0 ve \Delta_2: 3x - 5y + k = 0 doğrularının kesişim noktası A(3,-4) ise, k=?
Çözüm Adımları:
- Nokta A(3,-4)’ün \Delta_2’yi sağlaması gerek:
3\cdot 3 \;-\;5\cdot(-4)\;+\;k = 0
\quad\Longrightarrow\quad 9 + 20 + k = 0
\quad\Longrightarrow\quad k = -29.
- (Not: Soru metni doğruluğu için lütfen kontrol ediniz.)
- Sonuç:
\boxed{k = -29.}
3. 7. Soru Çözümü
Soru (tahmini metin):
\Delta: 2x - 3y + 6 = 0 doğrusu ile A(3,-1) noktası arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm Adımları:
d = \frac{\bigl|2\cdot3 \;-\;3\cdot(-1)\;+\;6\bigr|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}
= \frac{|6+3+6|}{\sqrt{4+9}}
= \frac{15}{\sqrt{13}}
Sonuç:
\boxed{d = \frac{15}{\sqrt{13}}\,.}
4. 8. Soru Çözümü
Soru (tahmini metin):
\Delta_1: 3x - 4y = 8 ve \Delta_2: -x + 2y = 4 doğrularının açıortaylarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm Adımları:
- Denklemleri standart formda yaz:
L_1: 3x - 4y -8 = 0,\quad
L_2: -x + 2y -4 = 0.
- Açıortay şartı:
\frac{3x - 4y -8}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}
= \pm
\frac{-x + 2y -4}{\sqrt{(-1)^2+2^2}}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{3x - 4y -8}{5}
= \pm
\frac{-x + 2y -4}{\sqrt{5}}.
- “+” durumuna bakalım:
\sqrt{5}(3x - 4y - 8) = 5(-x + 2y - 4)
\;\Longrightarrow\;
3\sqrt{5}\,x - 4\sqrt{5}\,y - 8\sqrt{5}
= -5x +10y -20.
Bütün terimleri bir tarafa topla:
(3\sqrt5+5)x \;+\;(-4\sqrt5-10)y
\;+\;(20 -8\sqrt5)=0.
Bu denklem, açıortaylardan birinin sadeleştirilmiş hâlidir.
5. Özet Tablosu
| Soru No | Konu | Sonuç |
|---|---|---|
| 5 | Noktadan doğruya dik inme | m=-1 |
| 6 | Doğruların kesişimi | k=-29 |
| 7 | Nokta-doğru uzaklığı | 15/\sqrt{13} |
| 8 | Açıortay doğrusu denklemi | (3\sqrt5+5)x+(-4\sqrt5-10)y+(20-8\sqrt5)=0* |
* “+” işaretli açıortay denklemine aittir.
6. SSS
S1: Noktadan doğruya dikilen doğrunun eğimini nasıl bulurum?
C1: Orijinal doğrunun eğimi m_1 ise, dik doğrunun eğimi -1/m_1’dir.
S2: İki doğru denkleminden kesişim noktası nasıl bulunur?
C2: İki denklemden oluşan lineer sistemi x,y için çözün (yerine koyma veya elimitasyon).
S3: Nokta-doğru uzaklığında payda neden \sqrt{a^2+b^2} olur?
C3: Doğru denklemi ax+by+c=0 için normal vektörün büyüklüğü \sqrt{a^2+b^2}’dir.
S4: Açıortay denklemlerini oluştururken mutlak değer kullanmalı mıyım?
C4: İki doğruyu eşit uzaklıktaki noktalar tanımlar; bu yüzden “\pm” farkı gerekir.
Devam Adımı
Soruların metinlerinde herhangi bir farklılık veya eksik rakam varsa net metni paylaşabilir misiniz? Böylece birebir tam çözümleri de iletebilirim. @Nehir_Cengel