\sqrt[4]{\frac{4^{x+2}}{8^{x-1}}} = 64 denklemini sağlayan x gerçek sayısını bulunuz.
Köklü ve Üslü Denklemlerin Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Tabanları ortak bir asal tabana (burada 2 tabanına) dönüştürme ve köklü ifadeleri rasyonel üs kuralı \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} ile \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} özelliklerini kullanarak çözme kuralı uygulanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kök İçindeki Tabanları 2’nin Kuvveti Olarak Yazma
Verilen denklemde 4 = 2^2 ve 8 = 2^3 olduğundan kök içerisindeki üslü ifadeleri 2 tabanında açalım:
4^{x+2} = (2^2)^{x+2} = 2^{2x+4}
8^{x-1} = (2^3)^{x-1} = 2^{3x-3}
Adım 2 — Kök İçindeki Bölme İşlemini Yapma
Tabanları aynı olan üslü sayılarda bölme işlemi yapılırken payın üssünden paydanın üssü çıkarılır:
\frac{4^{x+2}}{8^{x-1}} = \frac{2^{2x+4}}{2^{3x-3}} = 2^{(2x+4) - (3x-3)} = 2^{7-x}
Adım 3 — Kökü Üslü Sayıya Çevirme ve Eşitliği Çözme
Denklemin sağ tarafındaki 64 sayısı 2^6’ya eşittir. Köklü ifadeyi rasyonel üs şeklinde yazıp tabanları eşitleyelim:
\sqrt[4]{2^{7-x}} = 2^{\frac{7-x}{4}} = 2^6
Tabanlar eşit olduğu için üsler de birbirine eşit olmalıdır:
\frac{7-x}{4} = 6 \implies 7 - x = 24 \implies x = -17
CEVAP: -17 (x = -17)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Kök içindeki bölme işleminde parantez kullanmayı unutmamak önemlidir; (2x+4) - (3x-3) işleminde eksi işaretinin içeriye dağılarak -3x + 3 yaptığına dikkat edilmelidir.