\frac{4x + 12}{x} ifadesini tam sayı yapan kaç tane x tam sayısı vardır?
A) 18
B) 15
C) 12
D) 10
E) 8
Kesirli İfadeleri Tam Sayı Yapan Değerler ve Tam Sayı Bölen Sayısı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Rasyonel bir cebirsel ifadenin tam sayı belirtmesi için payda, payı tam bölmelidir. İfade \frac{ax + b}{x} = a + \frac{b}{x} biçiminde ayrılarak b sayısının tam bölen sayısı (2 \times \text{Pozitif Bölen Sayısı}) hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilen Kesirli İfadeyi Parçalara Ayırma
Verilen \frac{4x + 12}{x} kesri ortak paydadan kurtarılıp iki ayrı terim olarak yazılır:
\frac{4x + 12}{x} = \frac{4x}{x} + \frac{12}{x} = 4 + \frac{12}{x}
Burada 4 bir tam sayı olduğundan, ifadenin tamamının tam sayı olabilmesi için \frac{12}{x} ifadesinin de tam sayı olması gerekir. Dolayısıyla x, 12 sayısını tam bölen sıfırdan farklı bir tam sayı olmalıdır.
Adım 2 — 12 Sayısının Tam Sayı Bölen Sayısını Hesaplama
12 sayısı asal çarpanlarına ayrılır:
12 = 2^2 \cdot 3^1
- Pozitif bölen sayısı (PBS): Asal çarpanların kuvvetleri 1 artırılarak çarpılır:
\text{PBS} = (2 + 1) \cdot (1 + 1) = 3 \cdot 2 = 6
- Tam sayı bölen sayısı (TBS): x negatif tam sayı değerleri de alabileceğinden pozitif bölen sayısının 2 katı alınır:
\text{TBS} = 2 \cdot \text{PBS} = 2 \cdot 6 = 12
(Bu değerler: \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 olmak üzere toplam 12 adettir.)
CEVAP: C) 12 (x değerleri 12 farklı tam sayıdır)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Soruda x için “doğal sayı” ya da “pozitif tam sayı” denilmediğine, yalnızca “tam sayı” dendiğine dikkat edilmelidir. Bu nedenle pozitif bölenlerin yanı sıra negatif bölenler de mutlaka çözüme dâhil edilir.