Aynı düzlemli vec{F_{1}}, vec{F_{2}} ve vec{F_{3}} kuvvetlerinin bileşkesi sıfırdır.
\alpha > 45^irc olduğuna göre yargılarından hangileri doğrudur?
I.
F_{1} > F_{2} dir.
II.
F_{1} > F_{3} tür.
III.
F_{3} > F_{2} dir.
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve III
D) II ve III
E) I, II ve III
Aynı Düzlemli Kuvvetlerin Dengesi ve Büyüklük Karşılaştırması
KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:
Bir noktaya etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfır ise (\vec{R} = 0), hem yatay (x) hem de düşey (y) eksendeki kuvvetlerin toplamı sıfır olmalıdır.
\Sigma F_x = 0 \implies F_2 = F_1 \cdot \cos\alpha
\Sigma F_y = 0 \implies F_3 = F_1 \cdot \sin\alpha
Trigonometrik kural: 45^\circ < \alpha < 90^\circ aralığında \sin\alpha > \cos\alpha ve her iki değer de 1’den küçüktür (0 < \cos\alpha < \sin\alpha < 1).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — \vec{F}_1 Kuvvetini Bileşenlerine Ayırma
- \vec{F}_1 vektörünün -x ekseniyle yaptığı açı \alpha olarak verilmiştir.
- Yatay bileşen: F_{1x} = F_1 \cdot \cos\alpha (-x yönünde)
- Düşey bileşen: F_{1y} = F_1 \cdot \sin\alpha (+y yönünde)
Adım 2 — Denge Şartlarını Yazma
- Yatay dengeden: \Sigma F_x = 0 \implies F_2 = F_1 \cdot \cos\alpha
- Düşey dengeden: \Sigma F_y = 0 \implies F_3 = F_1 \cdot \sin\alpha
Adım 3 — \alpha > 45^\circ Koşulunu Değerlendirme
45^\circ < \alpha < 90^\circ durumunda:
-
\sin\alpha > \cos\alpha olduğundan:
F_1 \cdot \sin\alpha > F_1 \cdot \cos\alpha \implies F_3 > F_2
(III. öncül doğrudur)
-
\sin\alpha < 1 ve \cos\alpha < 1 olduğundan, bir vektörün bileşeni daima vektörün kendi büyüklüğünden küçüktür:
F_1 > F_1 \cdot \sin\alpha \implies F_1 > F_3
(II. öncül doğrudur)
F_1 > F_1 \cdot \cos\alpha \implies F_2 < F_1 \implies F_1 > F_2
(I. öncül doğrudur)
Adım 4 — Genel Sıralama ve Öncüllerin Kontrolü
- Elde edilen kesin sıralama: F_1 > F_3 > F_2
- I. F_1 > F_2 (Doğru)
- II. F_1 > F_3 (Doğru)
- III. F_3 > F_2 (Doğru)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) I, II ve III
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Vektörlerin Dengesi
- Tanım: Bir cisim veya nokta üzerine etki eden tüm kuvvetlerin vektörel toplamının sıfır (\vec{R} = 0) olması durumudur.
- Bu problemde: \vec{F}_1 vektörünün bileşenleri, eksenler üzerindeki \vec{F}_2 ve \vec{F}_3 kuvvetlerini büyüklükçe sıfırlamıştır.
2. Açıya Göre Bileşen Büyüklükleri
- Tanım: 45^\circ’den büyük açılarda düşey eksene olan yakınlık arttığı için düşey bileşen (\sin\alpha), yatay bileşenden (\cos\alpha) daha büyüktür.
- Bu problemde: \alpha > 45^\circ olduğu için F_{1y} > F_{1x} yani F_3 > F_2 bağıntısı elde edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Açının Konumunu Yanlış Belirlemek
- Yanlış: \alpha açısını y ekseni ile yapılan açı olarak alıp F_2 = F_1 \cdot \sin\alpha yazmak.
- Doğru: Şekilde \alpha açısı -x ekseni ile yapılmıştır, bu nedenle yatay bileşen \cos\alpha, düşey bileşen \sin\alpha ile çarpılır.
- Neden yanlış: Açı komşu olduğu eksene her zaman kosinüs bileşeni verir.
Vektörlerin dengesi veya Lami Teoremi ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?
