40. Dik koordinat düzleminde apsisi ordinatından b

YKS TYT
1
  1. Dik koordinat düzleminde apsisi ordinatından büyük bir A noktası için sirasıyla aşağıdaki işlemler uygulaniyor. A noktasinin y eksenine göre simetriği alınıp B noktası elde ediliyor. A) 15 B noktasinin orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürülmesiyle C noktası elde ediliyor. |AC| = 3 |OA| olduğuna göre OA doğrusunun eğim açısı kaç derecedir? B) 20 C) 45 D) 30 X>y E) 10

!Resim [Link Silindi]

2

Dik koordinat düzleminde verilen dönüşüm ve uzunluk ilişkisine göre OA doğrusunun eğim açısını bulma

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Noktanın y eksenine göre simetrisi: (x,y) \rightarrow (-x,y)
  • Orijin etrafında pozitif yönde 90° dönüşüm: (x,y) \rightarrow (-y,x)
  • İki vektörün uzunluk ilişkisi ve eğim açısı hesaplama: \tan \theta = \frac{y}{x}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — A noktasının koordinatlarını ifade et

A noktası apsisi (x) ordinatından büyüktür yani x > y.

A noktasını (x,y) olarak alalım. (x > y)

Adım 2 — B noktası: A’nın y eksenine göre simetrisi

B noktası A’nın y eksenine göre simetriği, yani koordinatlar:

B = (-x, y)

Adım 3 — C noktası: B’nin orijin etrafında pozitif yönde 90° dönmesi

Pozitif 90° dönüşüm formülü:

(x,y) \to (-y, x)

B noktası için:

C = (-y, -x)

Adım 4 — Vektör uzunluklarını yaz

O noktası orijindir (0,0).

  • |OA| = \sqrt{x^2 + y^2}
  • |AC| vektörü ise C - A olarak bulunur:
AC = ( -y - x , -x - y ) = (-y - x, -x - y)
|AC| = \sqrt{(-y - x)^2 + (-x - y)^2} = \sqrt{(x + y)^2 + (x + y)^2} = \sqrt{2(x + y)^2} = (x + y) \sqrt{2}

Adım 5 — Verilen uzunluk ilişkisini kullan

|AC| = \sqrt{3} \cdot |OA|

Yerine koyarsak:

(x + y) \sqrt{2} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{x^2 + y^2}

Her iki tarafı kareye alalım:

2(x + y)^2 = 3(x^2 + y^2)

Parantezi açalım:

2(x^2 + 2xy + y^2) = 3x^2 + 3y^2
2x^2 + 4xy + 2y^2 = 3x^2 + 3y^2

Tarafları toplayalım:

0 = 3x^2 + 3y^2 - 2x^2 - 4xy - 2y^2
0 = x^2 + y^2 - 4xy

Adım 6 — Eğim açısını bulmak için oranı yaz

x^2 + y^2 - 4xy = 0

Burada t = \frac{y}{x} (çünkü x \neq 0) alalım:

x^2 + y^2 - 4xy = x^2 + (t x)^2 - 4 x \cdot t x = x^2 + t^2 x^2 - 4 t x^2 = x^2 (1 + t^2 - 4 t) = 0

x^2 > 0 olduğu için:

1 + t^2 - 4t = 0

Bu bir ikinci derece denklemdir:

t^2 - 4t + 1 = 0

Kökleri bulalım:

t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}

Adım 7 — Eğim açısını bul

\tan \theta = t = 2 \pm \sqrt{3}

Bu değerlerden anlamlı olanı seçelim.

Yaklaşık değerler:

  • 2 + \sqrt{3} \approx 2 + 1.732 = 3.732
  • 2 - \sqrt{3} \approx 2 - 1.732 = 0.268

Apsisi ordinatından büyük olduğuna göre eğim küçük, yani eğim açısı 3.732 için çok büyük olur (yaklaşık 75° civarı), diğer için ise daha küçük bir açı.

\theta = \arctan(0.268) \approx 15^\circ

Bu nedenle OA doğrusunun eğim açısı yaklaşık 15°'dir.

:white_check_mark: CEVAP: A) 15

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

Dik koordinat düzleminde apsisi ordinatından büyük bir A noktası için sırasıyla aşağıdaki işlemler uygulanıyor: A noktasının y eksenine göre simetriği alınıp B noktası elde ediliyor. B noktasının orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürülmesiyle C noktası elde ediliyor. |AC| = \sqrt{3}·|OA| olduğuna göre OA doğrusunun eğim açısı kaç derecedir?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Öklid uzaklık formülü: İki nokta (x_1,y_1),(x_2,y_2) arası uzaklık \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.
  • Y eksenine göre simetri: (x,y)\mapsto(-x,y).
  • Orijin etrafında +90° döndürme: (x,y)\mapsto(-y,x).
  • Trigonometrik kimlik: \tan\theta ile eğim arasındaki ilişki.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Noktaların koordinatlarını belirle

A noktasını (a,b) olarak alalım ve verilen koşuldan

a>b

olduğunu biliyoruz.

B noktası (y eksenine göre simetri):

B(-a,b)

C noktası (B’nin orijin etrafında +90° döndürülmesi):

C(-b,-a)

Adım 2 — Uzunlukları yaz

OA:

|OA|=\sqrt{a^2+b^2}

AC (kurulum):

|AC|=\sqrt{(a-(-b))^2+(b-(-a))^2}
|AC|=\sqrt{(a+b)^2+(a+b)^2}
|AC|=\sqrt{2(a+b)^2}
|AC|=\sqrt{2}\,|a+b|

Adım 3 — Verilen koşulu uygula ve oranı bul

Kurala göre

\sqrt{2}\,|a+b|=\sqrt{3}\,\sqrt{a^2+b^2}

Her iki tarafın karesini alalım:

2(a+b)^2=3(a^2+b^2)
2(a^2+2ab+b^2)=3a^2+3b^2
0=3a^2+3b^2-2a^2-4ab-2b^2
0=a^2-4ab+b^2

b\neq 0 olduğunu kabul ederek t=\dfrac{a}{b} alalım:

t^2-4t+1=0

Çözüm:

t=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}
t=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}
t=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}
t=2\pm\sqrt{3}

A noktasının apsisi ordinatından büyük olduğu için t>1 olmalı; dolayısıyla

\frac{a}{b}=2+\sqrt{3}

Bundan eğim m=\dfrac{b}{a} elde edilir:

m=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}

Adım 4 — Eğimin açıya dönüştürülmesi

Eğim \tan\theta=m olduğuna göre hesapla:

\tan\theta=2-\sqrt{3}

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Simetri ve dönüşümler
  • Tanım: Bir noktanın y eksenine göre simetrisi x koordinatını işaret değiştirerek elde edilir; dönüşümler (rotasyon) ise koordinatları permute eder.
  • Bu problemde: Simetri ve +90° rotasyon A noktasıyla C noktası arasındaki ilişkide kullanıldı.
  1. Uzaklık ve trigonometrik bağlantı
  • Tanım: Düzlemde iki nokta arası mesafe Öklid formülüyle bulunur; eğim ile açı arasında \tan bağıntısı vardır.
  • Bu problemde: Verilen uzunluk oranı uzaklık denklemiyle yazılıp sadeleştirildi.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Simetri yönünü karıştırma

  • Yanlış: Y eksenine göre simetriyi (x,y)\mapsto(x,-y) almak.
  • Doğru: Y eksenine göre simetri: (x,y)\mapsto(-x,y).
  • Neden yanlış: Yanlış simetri dönüşümü B noktasının koordinatlarını hatalı yapar ve tüm hesabı bozar.
  • Düzeltme: Simetri tanımını doğru kullan.

:cross_mark: Rotasyon formülünü ters kullanma

  • Yanlış: +90° rotasyonu (x,y)\mapsto(y,-x) almak.
  • Doğru: +90° rotasyonu: (x,y)\mapsto(-y,x).
  • Neden yanlış: İşaretlerin yer değiştirmesi sonucu C yanlış bulunur.
  • Düzeltme: Rotasyon matrisini veya örnek bir noktayla doğrula.

:white_check_mark: CEVAP: 15°

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?