4. x, y ve z gerçek sayıları için verilen denklemlerden x nedir?

YKS TYT
1

image
image720×960 23.3 KB

2

Verilen Denklem Sisteminde x Değerini Bulma

Önemli Noktalar

  • Verilen:
    • x \cdot y = 14
    • x \cdot z = 20
    • 3x + 2y + z = 24
  • Amaç: Bu üç gerçek sayıdan x’in değerini bulmak
  • Yöntem: İlk iki denklemi kullanarak y ve z’yi x’in cinsinden ifade etmek ve üçüncü denkleme yerine koymak

Soruda verilen denklemler:

\begin{cases} x y = 14 \\ x z = 20 \\ 3x + 2y + z = 24 \end{cases}

Çözüm Adımları

  1. İlk iki denklemi kullanarak y ve z’yi x cinsinden yazalım:
y = \frac{14}{x}, \quad z = \frac{20}{x}
  1. Bu ifadeleri üçüncü denklemde yerine koyalım:
3x + 2 \cdot \frac{14}{x} + \frac{20}{x} = 24
  1. Paydaları eşitleyelim:
3x + \frac{28}{x} + \frac{20}{x} = 24
  1. \frac{28}{x} + \frac{20}{x} = \frac{48}{x} olduğundan:
3x + \frac{48}{x} = 24
  1. Bu denklemi x ile çarparak kesirden kurtulalım:
3x^2 + 48 = 24x
  1. Denklem şu hale gelir:
3x^2 - 24x + 48 = 0
  1. Tüm terimleri 3’e bölelim:
x^2 - 8x + 16 = 0
  1. Bu denklemin köklerini bulalım:
x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2} = \frac{8 \pm 0}{2} = 4

Tek kök vardır ve x = 4.

Cevap: D şıkkı, 4

Özet Tablo

Adım İşlem ve Sonuç
Verilen denklemler x y = 14, x z = 20, 3x + 2y + z = 24
y, z ifadeleri y = \frac{14}{x}, z = \frac{20}{x}
Üçüncü denklemde yerine koyma 3x + \frac{48}{x} = 24
Denklem formu 3x^2 - 24x + 48 = 0 \Rightarrow x^2 - 8x + 16 = 0
Çözüm x = 4

Sık Sorulan Sorular

1. Bu tür problem neden önce bilinmeyenleri diğer değişkenlere göre ifade etmekle çözülür?
Çünkü denklem sayısı bilinmeyen sayısına eşit olduğunda, değişkenlerden biri diğerlerine bağlı olarak ifade edilip yerine konabilir ve sistem tek değişkenli denkleme indirgenebilir. Böylece çözümü kolaylaştırır.

2. Kökün tek olmasının anlamı nedir?
Karekök içi sıfır olursa, tek katlı kök vardır; yani x için tek bir gerçek değer bulunur. Bu problemde x=4 benzersiz çözümdür.

3. x negatif olabilir mi?
Verilen denklemlerde x, y, z gerçek sayılar olarak belirtilmiştir. Eğer x negatif olsaydı, y = \frac{14}{x} ve z = \frac{20}{x} da negatif veya pozitif olurdu ama üçüncü denklemde (özellikle 3x teriminde) bu durum sağlanmazdı. Burada pozitif kök uygun.

Bu konuda daha ileri seviye örneklerle benzer denklemleri çözmek ister misiniz?

@Aysegul_Huzmeli

3

4. x, y ve z gerçek sayıları için verilen denklemlerden x nedir?

Temel Çıkarımlar

  • x\cdot y=14\, ve x\cdot z=20\, denklemlerinden
    y=\frac{14}{x} ve z=\frac{20}{x} bulunur.
  • Üçüncü denklem 3x+2y+z=24 yerine yazılırsa
    3x+\frac{48}{x}=24 elde edilir.
  • Bu denklemden 3x^2-24x+48=0\; → \;(x-4)^2=0\; sonucu çıkıp x=4 bulunur.

Doğru Yanıt

x = 4

İçindekiler

  1. Çözüm Adımları
  2. Alternatif Yöntemler
  3. Özet Tablosu
  4. Sıkça Sorulan Sorular

Çözüm Adımları

  1. Denklemler:
    \begin{cases} x\,y = 14,\\ x\,z = 20,\\ 3x + 2y + z = 24. \end{cases}
  2. Substitüsyon yöntemi ile
    y = \frac{14}{x},\quad z = \frac{20}{x}
    olduğu için üçüncü denklemde
    3x + 2\!\bigl(\tfrac{14}{x}\bigr) + \tfrac{20}{x} = 24
    ifadesi
    3x + \frac{48}{x} = 24
    haline gelir.
  3. Her iki tarafı x ile çarparak
    3x^2 - 24x + 48 = 0
    denklemi bulunur.
  4. 3 e böldüğümüzde
    x^2 - 8x + 16 = 0 \;\Longrightarrow\; (x-4)^2 = 0
    dolayısıyla x = 4.

Alternatif Yöntemler

Aşağıdaki tabloda substitüsyon ve eleme yöntemleri karşılaştırılmıştır:

Yöntem Avantajları Dezavantajları
Substitüsyon Tek değişkene odaklanılır, basittir Hesap karmaşıklığı artabilir
Eleme Denklem sayısını hızlıca azaltır Katsayı uyumu gerekebilir

Özet Tablosu

Aşama İşlem Sonuç
1. Substitüsyon y=\tfrac{14}{x},\;z=\tfrac{20}{x} –
2. Yerine yazma 3x+\tfrac{48}{x}=24 –
3. Çarpma 3x^2-24x+48=0 –
4. Çözüm (x-4)^2=0 x=4

Sıkça Sorulan Sorular

S1. x neden 0 olamaz?
Cünkü xy=14 ve xz=20 denklemleri 0’a bölme içerir; x=0 mümkün değildir.

S2. Başka bir değer çıkarsa ne yapılırdı?
Elde edilen kuadratik formu önce standart şekle getirip \Delta kullanarak çözeriz.

S3. Denklemler doğrusal mıdır?
İlk iki denklem çarpım içerdiğinden doğrusal değil; tersine kuadratik sisteme dönüştürülür.

S4. Yöntem tüm sistemlerde işe yarar mı?
Evet, özellikle bir değişkeni diğerine bağlayabiliyorsanız substitüsyon geneldir.

Bu çözümü anladınız mı, yoksa benzer bir sistem daha çözmemizi ister misiniz?
@Aysegul_Huzmeli